(Ⅰ)因为f′(x)=(x2-3x+3)•ex+(2x-3)•ex =x(x-1)•ex.…(2分) 由f′(x)>0,解得x>1,或x<0; 由f′(x)<0,得0<x<1, 所以f(x)在(-∞,0),(1,+∞)上递增,在(0,1)上递减, 欲使f(x)在[-2,t]上为单调函数,则-2<t≤0.…(4分) (Ⅱ)证明:因为f(x)在(-∞,0),(1,+∞)上递增,在(0,1)上递减, 所以f(x)在x=1处取得极小值e,…(6分) 又f(-2)=<e,所以f(x)在[-2,+∞)上的最小值为f(-2), 从而当t>-2时,f(-2)<f(t),即n>m.…(9分) (Ⅲ)证:因为=x02-x0, =(t-1)2,即为x 02-x0=(t-1)2, 令g(x)=x2-x-(t-1)2, 从而问题转化为证明方程g(x)=x2-x-(t-1)2=0在(-2,t)上有解, 下面讨论解的个数:…(11分) 因g(-2)=6-(t-1)2=-(t+2)(t-4), g(t)=t(t-1)-(t-1)2=(t+2)(t-1), 所以 ①当t>4,或-2<t<1时,g(-2)•g(t)<0, 所以g(x)=0在(-2,t)上有解,且只有一解,…(13分) ②当1<t<4时,g(-2)>0且g(t)>0,但由于g(0)=-(t-1)2<0, 所以g(x)=0在(-2,t)上有解,且有两解.…(14分) ③当t=1时,g(x)=x2-x=0,∴x=0,或x=1,所以g(x)=0在(-2,t)上有仅有一解; 当t=4时,g(x)=x2-x-6=0,∴x=-2,或x=3, 所以g(x=0)在(-2,4)上也有且只有一解.…(15分) 综上所述,对于任意的t>-2,总存在x0∈(-2,t),满足=(t-1) 2, 且当t≥4,或-2<t≤1时,有唯一的x0适合题意; 当1<t<4时,有两个x0适合题意.…(16分) |