设函数y=f(x)的定义域为R,对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时f(x)<0且f(3)=-4.(1)求证:y=f(x)为奇函数;
题型:解答题难度:一般来源:南汇区二模
设函数y=f(x)的定义域为R,对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时f(x)<0且f(3)=-4. (1)求证:y=f(x)为奇函数; (2)在区间[-9,9]上,求y=f(x)的最值. |
答案
(1)证明:令x=y=0,得f(0)=0 令y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x) ∴f(x)是奇函数…(6分) (2)对任取实数x1、x2∈[-9,9]且x1<x2,这时,x2-x1>0, f(x1)-f(x2)=f[(x1-x2)+x2]-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x1)=-f(x2-x1) 因为x>0时f(x)<0,∴f(x1)-f(x2)>0 ∴f(x)在[-9,9]上是减函数 故f(x)的最大值为f(-9),最小值为f(9) 而f(9)=f(3+3+3)=3f(3)=-12,f(-9)=-f(9)=12 ∴f(x)在区间[-9,9]上的最大值为12,最小值为-12 …(12分) |
举一反三
已知函数y=f(x)的定义域为[2,4],则函数y=f(log2x)的定义域为( )A.[2,4] | B.(0,+∞) | C.[1,2] | D.[4,16] |
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设函数f(x)=-,[x]表示不超过x的最大整数,则函数y=[f(x)]+[f(-x)]的值域为( )A.{0} | B.{-2,0} | C.{-1,0,1} | D.{-1,0} |
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(文)某工程由下列工序组成,则工程总时数=______
工序 | a | b | c | d | e | 紧前工序 | - | a | a | b,c | d | 工时数(天) | 3 | 3 | 5 | 4 | 6 | 已知函数f(x)=log2. (1)求f(x)的定义域; (2)讨论f(x)的奇偶性; (3)用定义讨论f(x)的单调性. |
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