设f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且其图象上任意两点连线的斜率均小于零.(1)证明f(x)在[-1,1]上是减函数;(2)如果f(x-c),f(x-c2
题型:解答题难度:一般来源:不详
设f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且其图象上任意两点连线的斜率均小于零. (1)证明f(x)在[-1,1]上是减函数; (2)如果f(x-c),f(x-c2)的定义域的交集为空集,求实数c的取值范围; (3)证明:若-1≤c≤2,则f(x-c),f(x-c2)存在公共的定义域,并求出这个公共的定义域. |
答案
(1)由已知对任意的x1、x2∈[-1,1],且x1≠x2, 都有<0,从而x1-x2与f(x1)-f(x2)异号, 所以f(x)在[-1,1]上是减函数. (2)因为f(x-c)的定义域是[c-1,c+1],f(x-c2)的定义域是[c2-1,c2+1], 因为以上两个集合的交集为空集,所以c2-1>c+1或c2+1<c-1解得:c>2或c<-1 (3)因为c2+1>c-1恒成立,有(2)问可知:当-1≤c≤2时, f(x-c),f(x-c2)存在公共的定义域. 若c2-1≤c+1,即1≤c≤2或-1≤c≤0时,c2+1≥c+1,c2-1≥c-1,此时的交集是[c2-1,c+1],即为公共的定义域; 若0<c<1,则c2+1<c+1,c2-1<c-1,此时的交集是[c-1,c2+1],即为公共的定义域. |
举一反三
已知函数f(x)=的定义域为(-∞,+∞),则实数p的取值范围是______. |
下列函数中,值域是(0,+∞)的是( )A.y= | B.y=(x≥ -) | C.y=x2+x+1 | D.y= |
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已知f(x+1)=x2+4x+3(x≥-1). (1)求f(x),并指出定义域; (2)求f-1(x). |
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