给出定义:若m-12≤x<m+12(其中m为整数),则m叫离实数x最近的整数,记作[x]=m,已知f(x)=|[x]-x|,下列四个命题:①函数f(x)的定义域
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给出定义:若m-12≤x<m+12(其中m为整数),则m叫离实数x最近的整数,记作[x]=m,已知f(x)=|[x]-x|,下列四个命题:①函数f(x)的定义域
题型:单选题
难度:一般
来源:门头沟区一模
给出定义:若
m-
1
2
≤x<m+
1
2
(其中m为整数),则m叫离实数x最近的整数,记作[x]=m,已知f(x)=|[x]-x|,下列四个命题:
①函数f(x)的定义域为R,值域为
[0,
1
2
]
; ②函数f(x)是R上的增函数;
③函数f(x)是周期函数,最小正周期为1; ④函数f(x)是偶函数,
其中正确的命题的个数是( )
A.4
B.3
C.2
D.1
答案
①中,令x=m+a,a∈[-
1
2
,
1
2
)
∴f(x)=|[x]-x|=|m-(m+a)|=|a|∈[0,
1
2
],
所以①正确;
②中,∵
1
4
∈[-
1
2
,
1
2
)-
1
4
∈[-
1
2
,
1
2
),且[
1
4
]=0,[-
1
4
]=-1
f(-
1
4
)=|[-
1
4
]+
1
4
|=
3
4
,f(
1
4
)=|[
1
4
]-
1
4
|=
1
4
,
不满足区间[-
1
2
,
1
2
)上单调递增,故②错误;
③中,∵f(x+1)=|[x+1]-(x+1)|=|[x]-x|=f(x)
所以周期为1,故③正确;
∵
m-
1
2
≤x<m+
1
2
(m∈Z),
∴-m-
1
2
<-x≤-m+
1
2
(m∈Z)
∴f(-x)=|[-x]-(-x)|=|(-m)+x|=|x-m|,f(x)=|[x]-x|=|m-x|
∴f(-x)=f(x)
∴④正确
综上所述,①③④正确.
故选B.
举一反三
函数
y=
x+1
x
的定义域是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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函数
y=x+
x
2
-3x+2
的值域为______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=6x-4(x=1,2,3,4,5,6)的值域为集合A,函数g(x)=2x-1(x=1,2,3,4,5,6)的值域为集合B,任意a∈A∪B,则a∈A∩B的概率是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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函数y=x+
1
x
(x>0)的值域为( )
A.[2,+∞)
B.(2,+∞)
C.(0,+∞)
D.(-∞,-2]∪[2,+∞)
题型:单选题
难度:简单
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已知函数f(x)=log
a
x+b
x-b
(a>0,a≠1,b>0).
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断f(x)的奇偶性;
(3)讨论f(x)的单调性,并证明.
题型:解答题
难度:一般
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