几位同学在研究函数f(x)=x1+|x|(x∈R)时,给出了下面几个结论:①函数f(x)的值域为(-1,1);②若x1≠x2,则一定有f(x1)≠f(x2);③
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几位同学在研究函数f(x)=x1+|x|(x∈R)时,给出了下面几个结论:①函数f(x)的值域为(-1,1);②若x1≠x2,则一定有f(x1)≠f(x2);③
题型:填空题
难度:一般
来源:不详
几位同学在研究函数
f(x)=
x
1+|x|
(x∈R)时,给出了下面几个结论:
①函数f(x)的值域为(-1,1);②若x
1
≠x
2
,则一定有f(x
1
)≠f(x
2
);③f(x)在(0,+∞)是增函数;④若规定f
1
(x)=f(x),f
n+1
(x)=f[f
n
(x)],则
f
n
(x)=
x
1+n|x|
对任意n∈N
*
恒成立,
上述结论中正确的个数有______个.
答案
①|x|<1+|x|,故
x
1+|x|
∈(-1,1)
,函数f(x)的值域为(-1,1),①正确;
②函数
f(x)=
x
1+|x|
是一个奇函数,当x≥0时,
f(x)=
x
1+x
=1-
1
1+x
,判断知函数在(0,+∞)上是一个增函数,由奇函数的性质知,函数
f(x)=
x
1+|x|
(x∈R)是一个增函数,故若x
1
≠x
2
,则一定有f(x
1
)≠f(x
2
),此命题正确;
③由②已证,故此命题正确;
④当n=1,f
1
(x)=f(x)=
x
1+|x|
,
f
2
(x)=
x
1+|x|
1+
|x|
1+|x|
=
x
1+2|x|
,假设n=k时,
f
k
(x)=
x
1+k|x|
成立,则n=k+1时,
f
k+1
(x)=
x
1+k|x|
1+
|x|
1+k|x|
=
x
1+(k+1)|x|
成立,由数学归纳法知,此命题正确.
故答案为 4
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2
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-
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2
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