已知函数f(x)=1-22x+t(t是常实数).(1)若函数的定义为R,求y=f(x)的值域;(2)若存在实数t使得y=f(x)是奇函数,证明y=f(x)的图象
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已知函数f(x)=1-22x+t(t是常实数).(1)若函数的定义为R,求y=f(x)的值域;(2)若存在实数t使得y=f(x)是奇函数,证明y=f(x)的图象
题型:解答题
难度:一般
来源:宝山区一模
已知函数
f(x)=1-
2
2
x
+t
(t是常实数).
(1)若函数的定义为R,求y=f(x)的值域;
(2)若存在实数t使得y=f(x)是奇函数,证明y=f(x)的图象在g(x)=2
x+1
-1图象的下方.
答案
(1)因为2
x
+t≠0恒成立,所以t≥0,(2分)
当t=0时,y=f(x)的值域为(-∞,1);(4分)
当t>0时,由
y=1-
2
2
x
+t
得,
2
x
=
2-t+ty
1-y
>0
,
因而
y-(1-
2
t
)
y-1
<0
即y=f(x)的值域为
(1-
2
t
,1)
.(6分)
(2)由y=f(x)是奇函数得t=1,所以
f(x)=1-
1
2
x
+1
(8分)
f(x)-g(x)=1-
2
2
x
+1
-(2•
2
x
-1)
,
f(x)-g(x)=4-[
2
2
x
+1
+2(
2
x
+1)]≤0
(11分)
当“=”成立时,必有
2
2
x
+1
=2(
2
x
+1)
,即2
x
=0,此式显然不成立.(13分)
所以对任意实数x都有f(x)<g(x)
即y=f(x)的图象在g(x)=2
x+1
-1图象的下方.(14分)
举一反三
函数
y=
1-
(
1
2
)
x
的定义域是______.
题型:填空题
难度:简单
|
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函数y=
log
2
(3x-2)
的定义域为______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
求函数
y=
4-
x
2
+
2x+3
的定义域.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
函数
y=
|3x+1|-2
的定义域是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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若函数f(x)=
kx+5
k
x
2
+4kx+3
定义域为一切实数,则实数k的取值范围为______.
题型:填空题
难度:简单
|
查看答案
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