已知函数f（x）=loga（x+1），g（x）=loga（1-x）（其中a＞0，且a≠1）（1）求函数f（x）+g（x）的定义域；（2）判断函数f（x）-g（x
题型：解答题难度：一般来源：不详
已知函数f（x）=loga（x+1），g（x）=loga（1-x）（其中a＞0，且a≠1）
（1）求函数f（x）+g（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）-g（x）的奇偶性，并予以证明；
（3）求使f（x）+g（x）＜0成立的x的集合． |
答案
（1）由题意得：，∴-1＜x＜1
∴所求定义域为{x|-1＜x＜1，x∈R}；
（2）函数f（x）-g（x）为奇函数
令H（x）=f（x）-g（x），则H（x）=loga（x+1）-loga（1-x）=loga，
∵H（-x）=loga=-loga=-H（x），
∴函数H（x）=f（x）-g（x）为奇函数；
（3）∵f（x）+g（x）=loga（x+1）+loga（1-x）=loga（1-x2）＜0=loga1
∴当a＞1时，0＜1-x2＜1，∴0＜x＜1或-1＜x＜0；
当0＜a＜1时，1-x2＞1，不等式无解
综上：当a＞1时，使f（x）+g（x）＜0成立的x的集合为{x|0＜x＜1或-1＜x＜0}． |
举一反三
已知函数f（x）=logm．
（1）求函数的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明；
（3）若f（x）的定义域为[α，β]（β＞α＞0），判断f（x）在定义域上的增减性，并加以证明． |
函数y=+的定义域为（ ）| A．[1，2） | B．[1，2] | C．[1，+∞） | D．（-∞，2） |
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已知函数f（x）=x2-2ax-3a2，（a＞）
（1）若a=1，求函数f（x）的值域；
（2）若对于任意x∈[1，4a]时，-4a≤f（x）≤4a恒成立，求实数a的取值范围． |
| 方程|x2-2x-3|=a有两解，则实数a的取值范围是______． |
| 函数f（x）=[x[x]]（x∈R），其中[x]表示不超过x的最大整数．如[-2.1]=-3，[-3]=-3，[2.5]=2．f（x）的奇偶性是______；若x∈[-2，3]，则f（x）的值域为______． |
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