已知函数f（x）=x2-2ax-3a2，（a＞14）（1）若a=1，求函数f（x）的值域；（2）若对于任意x∈[1，4a]时，-4a≤f（x）≤4a恒成立，求实

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=x²-2ax-3a²，（a＞

1

4

）
（1）若a=1，求函数f（x）的值域；
（2）若对于任意x∈[1，4a]时，-4a≤f（x）≤4a恒成立，求实数a的取值范围．

答案

（1）∵a=1，
∴函数f（x）=x²-2ax-3a²=x²-2x-3=（x-1）²-4≥-4，
故函数的值域为[-4，+∞）．
（2）函数f（x）=x²-2ax-3a²=（x-a）²-4a²，对称轴为 x=a．
当a≥1时，在区间[1，4a]上，函数f（x）最小值为-4a²，最大值为5a²，由题意得
-4a²≥-4a 且 5a²≤4a，显然 a无解．
当1＞a＞

1

4

时，函数f（x）在[1，4a]上是增函数，最小值为1-2a-3a²，最大值为 5a²，
由题意得1-2a-3a²≥-4a  且 5a²≤4a．  解得 

1

4

a≤

4

5

，故实数a的取值范围为 (

1

4

，

4

5

]．