已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的a,b∈R都满足:f(ab)=af(b)+bf(a)。(1)求f(0)及f(1)的值;(2)判断f(x)的
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已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的a,b∈R都满足:f(ab)=af(b)+bf(a)。(1)求f(0)及f(1)的值;(2)判断f(x)的
题型:解答题
难度:困难
来源:北京高考真题
已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的a,b∈R都满足:f(ab)=af(b)+bf(a)。(1)求f(0)及f(1)的值;
(2)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论;
(3)若f(2)=2,u
n
=f(2
n
)(n∈N*),求证u
n+1
>u
n
(n∈N)。
答案
解:(1)
因为
,
所以
。
(2)f(x)是奇函数。
证明:因为
,
所以
因此,f(x)为奇函数。
(3)证明:先用数学归纳法证明
(i)当n=1时,
;
(ii)假设当n=k时,
那么当n=k+1时,
由以上两步可知,对任意
因为
所以
。
举一反三
已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的a,b∈R都满足:f(a·b)=af(b)+bf(a), (Ⅰ)求f(0),f(1)的值;
(Ⅱ)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论;
(Ⅲ)若f(2)=2,u
n
=
(n∈N),求数列{u
n
}的前n项的和S
n
。
题型:解答题
难度:困难
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函数
的定义域是
[ ]
A.[1,+∞)
B.
C.
D.
题型:单选题
难度:简单
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已知函数
,那么f(1)+f(2)+
+f(3)+
+f(4)+
=( )。
题型:填空题
难度:简单
|
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已知函数
,求函数的定义域,并讨论它的奇偶性和单调性。
题型:解答题
难度:一般
|
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函数
的定义域是
[ ]
A.[-
,-1)∪(1,
]
B.(-
,-1)∪(1,
)
C.[-2,-1)∪(1,2]
D.(-2,-1)∪(1,2)
题型:单选题
难度:简单
|
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