已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的a,b∈R都满足:f(a·b)=af(b)+bf(a), (Ⅰ)求f(0),f(1)的值; (Ⅱ)判断f(

已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的a,b∈R都满足:f(a·b)=af(b)+bf(a), (Ⅰ)求f(0),f(1)的值; (Ⅱ)判断f(

题型:解答题难度:困难来源:北京高考真题
已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的a,b∈R都满足:f(a·b)=af(b)+bf(a), (Ⅰ)求f(0),f(1)的值;
(Ⅱ)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论;
(Ⅲ)若f(2)=2,un=(n∈N),求数列{un}的前n项的和Sn
答案
(Ⅰ)解:
因为
所以f(1)=0;
(Ⅱ)f(x)是奇函数;
证明:因为,所以f(-1)=0,

因此,f(x)为奇函数;
(Ⅲ)解:由
猜测,下面用数学归纳法证明:
1°当n=1时,,公式成立;
2°假设当n=k时,成立,
那么当n=k+1时,,公式仍成立;
由上两步可知,对任意成立,
所以
因为
所以,
因此
举一反三
函数的定义域是

[     ]

A.[1,+∞)
B.
C.
D.
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知函数,那么f(1)+f(2)++f(3)++f(4)+=(    )。
题型:填空题难度:简单| 查看答案
已知函数,求函数的定义域,并讨论它的奇偶性和单调性。
题型:解答题难度:一般| 查看答案
函数的定义域是[     ]
A.[-,-1)∪(1,]
B.(-,-1)∪(1,
C.[-2,-1)∪(1,2]
D.(-2,-1)∪(1,2)
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知函数
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)若f(x)=2,求sin2x的值。
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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