已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的a,b∈R都满足:f(a·b)=af(b)+bf(a), (Ⅰ)求f(0),f(1)的值; (Ⅱ)判断f(
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已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的a,b∈R都满足:f(a·b)=af(b)+bf(a), (Ⅰ)求f(0),f(1)的值; (Ⅱ)判断f(
题型:解答题
难度:困难
来源:北京高考真题
已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的a,b∈R都满足:f(a·b)=af(b)+bf(a), (Ⅰ)求f(0),f(1)的值;
(Ⅱ)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论;
(Ⅲ)若f(2)=2,u
n
=
(n∈N),求数列{u
n
}的前n项的和S
n
。
答案
(Ⅰ)解:
,
因为
,
所以f(1)=0;
(Ⅱ)f(x)是奇函数;
证明:因为
,所以f(-1)=0,
,
因此,f(x)为奇函数;
(Ⅲ)解:由
,
猜测
,下面用数学归纳法证明:
1°当n=1时,
,公式成立;
2°假设当n=k时,
成立,
那么当n=k+1时,
,公式仍成立;
由上两步可知,对任意
成立,
所以
,
因为
,
所以,
,
,
因此
。
举一反三
函数
的定义域是
[ ]
A.[1,+∞)
B.
C.
D.
题型:单选题
难度:简单
|
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已知函数
,那么f(1)+f(2)+
+f(3)+
+f(4)+
=( )。
题型:填空题
难度:简单
|
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已知函数
,求函数的定义域,并讨论它的奇偶性和单调性。
题型:解答题
难度:一般
|
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函数
的定义域是
[ ]
A.[-
,-1)∪(1,
]
B.(-
,-1)∪(1,
)
C.[-2,-1)∪(1,2]
D.(-2,-1)∪(1,2)
题型:单选题
难度:简单
|
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已知函数
。
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)若f(x)=2,求sin2x的值。
题型:解答题
难度:一般
|
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