已知函数的定义域为，且满足条件：①，②③当.（1）求证：函数为偶函数；（2）讨论函数的单调性；（3）求不等式的解集

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数的定义域为，且满足条件：①，②③当.
（1）求证：函数为偶函数；
（2）讨论函数的单调性；
（3）求不等式的解集

答案

解：（1）在①中令x="y=1," 得f(1)= f(1)+ f(1) f(1)=0,
令x=y=－1, 得f(1)= f(－1)+ f(－1) f(－1)=0,
再令y=－1, 得f(－x)= f(x)+ f(－1) f(x), ∴f(x)为偶函 数；
（2）在①中令
先讨论上的单调性， 任取x₁http:///x₂，设x₂>x₁>0，

由③知：>0，∴f(x₂)>f(x₁)， ∴f(x)在（0，+∞）上是增函数，
∵偶函数图象关于y轴对称 ，∴f(x)在（－∞，0）上是减函数；
（3）∵f[x(x－3)]= f(x)+ f(x－3)≤2， 由①②得2=1+1= f(2)+ f(2)= f(4)= f(－4)，
1）若x(x－3)>0 , ∵f(x)在（0，+∞）上为增函数，
由f[x(x－3)] ≤f(4) 得

2）若x(x－3)<0, ∵f(x)在（－∞，0）上为减函数；
由f[x(x－3)] ≤f(－4)得 
∴原不等式的解集为：

解析

略