设函数f(x)定义域为R,当x>0时,f(x)>1,且对任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)•f(y).(1)证明:f(0)=1;(2)证明:f(x)在R上
题型:解答题难度:一般来源:不详
设函数f(x)定义域为R,当x>0时,f(x)>1,且对任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)•f(y). (1)证明:f(0)=1; (2)证明:f(x)在R上是增函数; (3)设集合A={(x,y)|f(x2)•f(y2)<f(1)},B={(x,y)|f(x+y+c)=1,c∈R},若A∩B=φ,求c的取值范围. |
答案
(1)证明:设x=0,y=1得:f(0+1)=f(0)•f(1),即f(1)=f(0)•f(1) ∵f(1)>1 ∴f(0)=1 (2)证明:∵对x1,x2∈R,x1<x2,,有x2-x1>0 ∴f(x2)=f(x1+x2-x1)=f(x1)•f(x2-x1)中有f(x2-x1)>1 由已知可,得当x1>0时,f(x1)>1>0 当x1=0时,f(x1)=1>0 当x1<0时,f(x1)•f(-x1)=f(x1-x1)=f(0)=1 又∵f(-x1)>1∴0<f(x1)<1 故对于一切x1∈R,有f(x1)>0 ∴f(x2)=f(x1)•f(x2-x1)>f(x1),故命题得证. (3)解由f(x2+y2)<f(1),则由单调性知x2+y2<1. 由f(x+y+c)=f(0)=1和函数单调性知x+y+c=0, 若A∩B=φ,则只要圆x2+y2=1与直线x+y+c=0相离或相切即可,故≥1. ∴c≥或c≤- |
举一反三
如果函数f(x)满足:对任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)•f(y)且f(1)=2,则++++…+=______. |
设f(x)=,若f(g(x))值域为[0,+∞),则g(x)的值域可能为( )A.(-∞,-1)∪[1,+∞) | B.(-∞,-1]∪(0,+∞) | C.[0,+∞) | D.[1,+∞) |
|
设函数f(x)对于任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时f(x)<0,f(1)=-2. (1)求f(0); (2)证明f(x)是奇函数; (3)试问在x∈[-3,3]时f(x)是否有最大、最小值?如果有,请求出来,如果没有,说明理由; (4)解不等式f(x2)-f(x)>f(3x). |
已知函数f(x)满足:f(p+q)=f(p)•f(q),f(1)=2,则:++++…+=______. |
已知函数f(x)=,则不等式f(1-x2)=f(2x)的解集是( )A.{x|x≤-1} | B.{-1+} | C.{x|x≤-1或x=-1+} | D.{x|x<-1或x=-1+} |
|
最新试题
热门考点