①令x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1),解得f(1)=0. ②f(x)在(0,+∞)上的是增函数, 设x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2,则>1, ∴f()>0, ∴f(x1)-f(x2)=f(x2⋅)-f(x2)=f(x2)+f()-f(x2)=f()>0, 即f(x1)>f(x2), ∴f(x)在(0,+∞)上的是增函数. ③∵f(xy)=f(x)+f(y), ∴令y=,则f(1)=f(x)+f()=0, 又f()=-1, ∴f(a)=1, 由②知,f(x)在(0,+∞)上的是增函数. ∴不等式f(1-x-2x2)≤1等价为f(1-x-2x2)≤f(a), 则 | 1-x-2x2>0,(1) | 1-x-2x2≤a,(2) |
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由不等式(1)得-1<x<, ∵不等式(2)可化为:2x2+x+a-1≥0, 10当△=9-8a≤0,即a≥时,不等式(2)恒成立,此时,所求解集为x∈(-1,). 20当△=9-8a>0时,又∵a>0,∴0<a<. 此时,不等式(2)的解为x≤或x≥. 又∵0<a<, ∴0<9-8a<9, ∴-1<<<. ∴此时所求解集为:x∈(-1,]∪[,). 综上,当a≥时,所求解集为x∈(-1,) 当0<a<时,所求解集为:x∈(-1,]∪[,). |