(本小题满分14分)设椭圆方程为抛物线方程为如图4所示,过点作轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为G.已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点(1)求满足条件的

(本小题满分14分)设椭圆方程为抛物线方程为如图4所示,过点作轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为G.已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点(1)求满足条件的

题型:不详难度:来源:
(本小题满分14分)
椭圆方程为抛物线方程为如图4所示,过点轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为G.已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点
(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程;
(2)设AB分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物线上是否存在点P,使得为直角三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐标) 。
答案
(1)椭圆和抛物线的方程分别为
(2)存在,有4个点,理由见解析。
解析
对于(1)重点要抓住抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F1,故先要设法求出点G及抛物线在点G的切线,再求F1,利用同一个F1求出b即可;对于(2)首先要注意直角三个角均有可能为直角,不要遗漏,对于为直角的情况可利用向量或斜率求解;
(1)由
G点的坐标为
过点G的切线方程为
点的坐标为,由椭圆方程得点的坐标为

即椭圆和抛物线的方程分别为
(2)轴的垂线与抛物线只有一个交点,为直角的只有一个,同理为直角的只有一个。
若以为直角,设点坐标为两点的坐标分别为
关于的二次方程有一解,有两解,即以为直角的有两个,因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。
举一反三
(本小题满分12分)
设点在直线上,过点作双曲线的两条切线,切点为,定点

(1)求证:三点共线;
(2)过点作直线的垂线,垂足为,试求的重心所在曲线方程。
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在平面直角坐标系中,已知向量),,动点的轨迹为T.
(1)求轨迹T的方程,并说明该方程表示的曲线的形状;
(2)当时,已知,试探究是否存在这样的点是轨迹T内部的整点(平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点),且△OEQ的面积?若存在,求出点Q的坐标,若不存在,说明理由.
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分别为具有公共焦点的椭圆和双曲线的离心率,P为两曲线的一个公共点,且满足的值为      (   )
A.2B.C.4D.

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(本题满分14分)
抛物线D以双曲线的焦点为焦点.
(1)求抛物线D的标准方程;
(2)过直线上的动点P作抛物线D的两条切线,切点为AB.求证:直线AB过定点Q,并求出Q的坐标;
(3)在(2)的条件下,若直线PQ交抛物线DMN两点,求证:|PM|·|QN|=|QM|·|PN|
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如图,在以点O为圆心,AB为直径的半圆中,D为半圆弧的中点, P为半圆弧上一点,且AB=4,∠POB=30°,双曲线C以A,B为焦点且经过点P.
(Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求双曲线C的方程;
(Ⅱ)设过点D的直线l与双曲线C相交于不同两点E、F,
若△OEF的面积不小于2,求直线l的斜率的取值范围.

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