(本题满分14分)抛物线D以双曲线的焦点为焦点.(1)求抛物线D的标准方程;(2)过直线上的动点P作抛物线D的两条切线,切点为A,B.求证:直线AB过定点Q,并
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(本题满分14分)抛物线D以双曲线的焦点为焦点.(1)求抛物线D的标准方程;(2)过直线上的动点P作抛物线D的两条切线,切点为A,B.求证:直线AB过定点Q,并
题型:不详
难度:
来源:
(本题满分14分)
抛物线
D
以双曲线
的焦点
为焦点.
(1)求抛物线
D
的标准方程;
(2)过直线
上的动点
P
作抛物线
D
的两条切线,切点为
A
,
B
.求证:直线
AB
过定点
Q
,并求出
Q
的坐标;
(3)在(2)的条件下,若直线
PQ
交抛物线
D
于
M
,
N
两点,求证:|
PM
|·|
QN
|=|
QM
|·|
PN|
答案
(1)
(2)(1,1)
(3)证明见解析。
解析
(1)由题意,
所以
,抛物线
D
的标准方程为
…………3分
(2)设
由
抛物线
D
在点
A
处的切线方程为
…………4分
而A点处的切线过点
即
同理,
可见,点
A
,
B
在直线
上.
令
所以,直线
AB
过定点
Q
(1,1) …………6分
(3)设
直线
PQ
的方程为
由
得
由韦达定理,
…………9分
而
…………12分
将
代入方程(*)的左边,得
(*)的左边
=0.
因而有|
PM
|·|
QN
|=|
QM
|·|
PN
|. …………14分
举一反三
如图,在以点O为圆心,AB为直径的半圆中,D为半圆弧的中点, P为半圆弧上一点,且AB=4,∠POB=30°,双曲线C以A,B为焦点且经过点P.
(Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求双曲线C的方程;
(Ⅱ)设过点D的直线
l
与双曲线C相交于不同两点E、F,
若△OEF的面积不小于2
,求直线
l
的斜率的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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(本题满分14分)
已知点
(
),过点
作抛物线
的切线,切点分别为
、
(其中
).
(Ⅰ)求
与
的值(用
表示);
(Ⅱ)若以点
为圆心的圆
与直线
相切,求圆
面积的最小值.
题型:不详
难度:
|
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若曲线
与直线
没有公共点,则
的取值范围是________________.
题型:不详
难度:
|
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已知斜率为
的直线
过抛物线
的焦点
,且与抛物线交于
两点,(1)求直线
的方程(用
表示);
(2)若设
,求证:
;
(3)若
,求抛物线方程.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆方程为
,O为原点,F为右焦点,点M是椭圆右准线
上(除去与
轴的交点)的动点,过F作OM的垂线与以OM为直线的圆交于点N,则线段ON的长为 ( )
A.
B.
C.
D.不确定
题型:不详
难度:
|
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