设函数f(x)满足f(-x)=-f(x)(x∈R),且在(0,+∞)上为增函数,且f(1)=0,则不等式f(x)-f(-x)x≤0的解集为______.
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设函数f(x)满足f(-x)=-f(x)(x∈R),且在(0,+∞)上为增函数,且f(1)=0,则不等式f(x)-f(-x)x≤0的解集为______.
题型:填空题
难度:简单
来源:不详
设函数f(x)满足f(-x)=-f(x)(x∈R),且在(0,+∞)上为增函数,且f(1)=0,则不等式
f(x)-f(-x)
x
≤0
的解集为______.
答案
∵函数f(x)满足f(-x)=-f(x)(x∈R),
∴f(x)-f(-x)=f(x)+f(x)=2f(x),
因此,不等式
f(x)-f(-x)
x
≤0
等价于
2f(x)
x
≤0
,
化简得
f(x)≥0
x<0
或
f(x)≤0
x>0
,
①当x>0时,由于在(0,+∞)上f(x)为增函数且f(1)=0,
∴由不等式f(x)≤0=f(1),得0<x≤1;
②当x<0时,-x>0,
不等式f(x)≥0化成-f(x)≤0,即f(-x)≤0=f(1),
解之得-x≤1,即-1≤x<0.
综上所述,原不等式的解集为[-1,0)∪(0,1].
故答案为:[-1,0)∪(0,1]
举一反三
若定义在R上的函数对任意的x
1
,x
2
∈R,都有f(x
1
+x
2
)=f(x
1
)+f(x
2
)-1成立,且当x>0时,f(x)>1,若f(4)=5,则不等式f(3m-2)<3的解集为______.
题型:填空题
难度:简单
|
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若函数f(x),g(x)满足g(x-y)=g(x)g(y)+f(x)f(y),并且f(0)=0,f(-1)=-1,f(1)=1.
(1)证明:f
2
(x)+g
2
(x)=g(0).
(2)求g(0),g(1),g(-1),g(2)的值.
(3)判断f(x),g(x)的奇偶性.
题型:解答题
难度:一般
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已知函数f(x)对任意x,y∈R,满足f(x)+f(y)=f(x+y)+2,当x>0时,f(x)>2.
(1)求证:f(x)在R上是增函数;
(2)当f(3)=5时,解不等式:f(a
2
-2a-2)<3.
题型:解答题
难度:一般
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已知函数f(x),当x,y∈R时,恒有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-2
(1)求证:f(x)是奇函数
(2)试判断f(x)的单调性,并求f(x)在[-3,3]上的最值
(3)解不等式:f(x
2
-x)-f(x)≥-6.
题型:解答题
难度:一般
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题型:解答题
难度:一般
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