若函数f(x),g(x)满足g(x-y)=g(x)g(y)+f(x)f(y),并且f(0)=0,f(-1)=-1,f(1)=1.(1)证明:f2(x)+g2(x
题型:解答题难度:一般来源:不详
若函数f(x),g(x)满足g(x-y)=g(x)g(y)+f(x)f(y),并且f(0)=0,f(-1)=-1,f(1)=1. (1)证明:f2(x)+g2(x)=g(0). (2)求g(0),g(1),g(-1),g(2)的值. (3)判断f(x),g(x)的奇偶性. |
答案
(1)证明:令y=x,g(0)=f2(x)+g2(x); (2)∵g(0)=g2(0)+f2(0), ∴g(0)=0或1; 若g(0)=0,则由(1)可知f(x)=g(x)=0,与题设矛盾, 故g(0)=1. 又g(0)=g(1)g(1)+f(1)f(1), g(0)=g(-1)g(-1)+f(-1)f(-1), 故g(1)=0,g(-1)=0,令x=1,y=-1, g(2)=g(1)g(-1)+f(1)f(-1),g(2)=-1. (3)g(y-x)=g(y)g(x)+f(y)f(x)=g(x-y), 故g(x)是偶函数; 用-x,-y 替换x,y,g(y-x)=g(-x)g(-y)+f(-x)f(-y),g(x)是偶函数, 与原式联立可得f(-x)f(-y)=f(x)f(y),令y=1,可得f(x)=-f(-x). ∴f(x)是奇函数. |
举一反三
已知函数f(x)对任意x,y∈R,满足f(x)+f(y)=f(x+y)+2,当x>0时,f(x)>2. (1)求证:f(x)在R上是增函数; (2)当f(3)=5时,解不等式:f(a2-2a-2)<3. |
已知函数f(x),当x,y∈R时,恒有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-2 (1)求证:f(x)是奇函数 (2)试判断f(x)的单调性,并求f(x)在[-3,3]上的最值 (3)解不等式:f(x2-x)-f(x)≥-6. |
如图,已知底角为60°的等腰梯形ABCD,底边BC长为7cm,腰长为4cm,当一条垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时,直线l把梯形分成两部分,令BF=x,试写出直线l左边部分的面积y与x的函数关系式.
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已知函数f(x)=|x-1|-|x+2|. (1)用分段函数的形式表示该函数; (2)在右边所给的坐标第中画出该函数的图象; (3)写出该函数的定义域、值域、奇偶性、单调区间(不要求证明).
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设函数f(x)对任意xy∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时,f(x)>0,且f(1)=2 (1)求f(0),f(-1)的值 (2)求证:f(x)是奇函数 (3)试问在-2≤x≤4时,f(x)是否有最值;如果没有,说出理由. |
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