设函数f(x)对任意xy∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时,f(x)>0,且f(1)=2(1)求f(0),f(-1)的值(2)求证:f(x)
题型:解答题难度:一般来源:不详
设函数f(x)对任意xy∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时,f(x)>0,且f(1)=2 (1)求f(0),f(-1)的值 (2)求证:f(x)是奇函数 (3)试问在-2≤x≤4时,f(x)是否有最值;如果没有,说出理由. |
答案
解(1)因为f(x+y)=f(x)+f(y), 令x=0,y=0 则f(0)=2f(0), 所以f(0)=0, 令x=1,y=-1,由f(1)=2得 f(0)=f(-1)+f(1)=f(-1)+2=0 解得f(-1)=-2 (2)令y=-x,由(1)中f(0)=0,及f(x+y)=f(x)+f(y), 可得f(0)=f(x)+f(-x)=0, 即f(-x)=-f(x) 故f(x)是奇函数 (3)任取x1<x2,则x2-x1>0.⇒f(x2-x1)>0. ∴f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)=-f(x2-x1)<0, ∴f(x1)<f(x2), ∴y=f(x)在R上为增函数. ∴y=f(x)在[-2,4]上为减函数,f(-2)为函数的最小值,f(4)为函数的最大值. 又f(4)=2f(2)=4f(1)=8, f(-2)=2f(-1)=-4 ∴函数最大值为8,最小值为-4 |
举一反三
定义在(0,+∞)上的增函数f(x)满足:对任意的x>0,y>0都有f(xy)=f(x)+f(y), (1)求f(1)的值; (2)请举出一个符合条件的函数f(x); (3)若f(2)=1,解不等式f(x2-5)-f(x)<2. |
设定义域为R+的函数f(x),对任意的正实数x,y,都有f(xy)=f(x)+f(y),且当x>1时有f(x)>0. ①求f(1)的值; ②判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并证明. ③若f()=-1,求满足不等式f(1-x-2x2)≤1的x的取值范围. |
设函数f(x)定义域为R,当x>0时,f(x)>1,且对任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)•f(y). (1)证明:f(0)=1; (2)证明:f(x)在R上是增函数; (3)设集合A={(x,y)|f(x2)•f(y2)<f(1)},B={(x,y)|f(x+y+c)=1,c∈R},若A∩B=φ,求c的取值范围. |
如果函数f(x)满足:对任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)•f(y)且f(1)=2,则++++…+=______. |
设f(x)=,若f(g(x))值域为[0,+∞),则g(x)的值域可能为( )A.(-∞,-1)∪[1,+∞) | B.(-∞,-1]∪(0,+∞) | C.[0,+∞) | D.[1,+∞) |
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