设函数f（x）对任意xy∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，f（x）＞0，且f（1）=2（1）求f（0），f（-1）的值（2）求证：f（x）
题型：解答题难度：一般来源：不详
设函数f（x）对任意xy∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，f（x）＞0，且f（1）=2
（1）求f（0），f（-1）的值
（2）求证：f（x）是奇函数
（3）试问在-2≤x≤4时，f（x）是否有最值；如果没有，说出理由． |
答案
解（1）因为f（x+y）=f（x）+f（y），
令x=0，y=0
则f（0）=2f（0），
所以f（0）=0，
令x=1，y=-1，由f（1）=2得
f（0）=f（-1）+f（1）=f（-1）+2=0
解得f（-1）=-2
（2）令y=-x，由（1）中f（0）=0，及f（x+y）=f（x）+f（y），
可得f（0）=f（x）+f（-x）=0，
即f（-x）=-f（x）
故f（x）是奇函数
（3）任取x1＜x2，则x2-x1＞0．⇒f（x2-x1）＞0．
∴f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=f（x1-x2）=-f（x2-x1）＜0，
∴f（x1）＜f（x2），
∴y=f（x）在R上为增函数．
∴y=f（x）在[-2，4]上为减函数，f（-2）为函数的最小值，f（4）为函数的最大值．
又f（4）=2f（2）=4f（1）=8，
f（-2）=2f（-1）=-4
∴函数最大值为8，最小值为-4 |
举一反三
定义在（0，+∞）上的增函数f（x）满足：对任意的x＞0，y＞0都有f（xy）=f（x）+f（y），
（1）求f（1）的值；
（2）请举出一个符合条件的函数f（x）；
（3）若f（2）=1，解不等式f（x2-5）-f（x）＜2． |
设定义域为R+的函数f（x），对任意的正实数x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y），且当x＞1时有f（x）＞0．
①求f（1）的值；
②判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并证明．
③若f（）=-1，求满足不等式f（1-x-2x2）≤1的x的取值范围． |
设函数f（x）定义域为R，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）•f（y）．
（1）证明：f（0）=1；
（2）证明：f（x）在R上是增函数；
（3）设集合A={（x，y）|f（x2）•f（y2）＜f（1）}，B={（x，y）|f（x+y+c）=1，c∈R}，若A∩B=φ，求c的取值范围． |
| 如果函数f（x）满足：对任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）•f（y）且f（1）=2，则++++…+=______． |
设f（x）=，若f（g（x））值域为[0，+∞），则g（x）的值域可能为（ ）| A．（-∞，-1）∪[1，+∞） | B．（-∞，-1]∪（0，+∞） | C．[0，+∞） | D．[1，+∞） |
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