定义在（0，+∞）上的增函数f（x）满足：对任意的x＞0，y＞0都有f（xy）=f（x）+f（y），（1）求f（1）的值；（2）请举出一个符合条件的函数f（x）
题型：解答题难度：一般来源：不详
定义在（0，+∞）上的增函数f（x）满足：对任意的x＞0，y＞0都有f（xy）=f（x）+f（y），
（1）求f（1）的值；
（2）请举出一个符合条件的函数f（x）；
（3）若f（2）=1，解不等式f（x2-5）-f（x）＜2． |
答案
（1）令x=y=1，
则f（1）=f（1）+f（1）⇒f（1）=0．
（2）y=logax（a＞1）
（3）f（2）=1
∴2=1+1=f（2）+f（2）=f（4）
∴原不等式等价于f（x2-5）＜f（x）+f（4）=f（4x），
因为f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，所以
⇒⇒＜x＜5
所以原不等式解集是(，5) |
举一反三
设定义域为R+的函数f（x），对任意的正实数x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y），且当x＞1时有f（x）＞0．
①求f（1）的值；
②判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并证明．
③若f（）=-1，求满足不等式f（1-x-2x2）≤1的x的取值范围． |
设函数f（x）定义域为R，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）•f（y）．
（1）证明：f（0）=1；
（2）证明：f（x）在R上是增函数；
（3）设集合A={（x，y）|f（x2）•f（y2）＜f（1）}，B={（x，y）|f（x+y+c）=1，c∈R}，若A∩B=φ，求c的取值范围． |
| 如果函数f（x）满足：对任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）•f（y）且f（1）=2，则++++…+=______． |
设f（x）=，若f（g（x））值域为[0，+∞），则g（x）的值域可能为（ ）| A．（-∞，-1）∪[1，+∞） | B．（-∞，-1]∪（0，+∞） | C．[0，+∞） | D．[1，+∞） |
|
设函数f（x）对于任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时f（x）＜0，f（1）=-2．
（1）求f（0）；
（2）证明f（x）是奇函数；
（3）试问在x∈[-3，3]时f（x）是否有最大、最小值？如果有，请求出来，如果没有，说明理由；
（4）解不等式f(x2)-f(x)＞f(3x)． |
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