已知函数f（x）对任意x，y∈R，满足f（x）+f（y）=f（x+y）+2，当x＞0时，f（x）＞2．（1）求证：f（x）在R上是增函数；（2）当f（3）=5时

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）对任意x，y∈R，满足f（x）+f（y）=f（x+y）+2，当x＞0时，f（x）＞2．
（1）求证：f（x）在R上是增函数；
（2）当f（3）=5时，解不等式：f（a²-2a-2）＜3．

答案

（1）设x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
∵x＞0，f（x）＞2；
∴f（x₂-x₁）＞2；
又f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）+f（x₁）-2＞2+f（x₁）-2=f（x₁），
即f（x₂）＞f（x₁）．
所以：函数f（x）为单调增函数
（2）∵f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）-2=[f（1）+f（1）-2]+f（1）-2=3f（1）-4=5
∴f（1）=3．
即f（a²-2a-2）＜3⇒f（a²-2a-2）＜f（1）
∴a²-2a-2＜1⇒a²-2a-3＜0
解得：-1＜a＜3．