已知函数f(x),当x,y∈R时,恒有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-2(1)求证:f(x)是奇函数(2)试判断f(x
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x),当x,y∈R时,恒有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-2 (1)求证:f(x)是奇函数 (2)试判断f(x)的单调性,并求f(x)在[-3,3]上的最值 (3)解不等式:f(x2-x)-f(x)≥-6. |
答案
(1)令x=y=0,则f(0)=0, 再令y=-x得f(x)+f(-x)=f(0)=0, ∴f(-x)=-f(x), ∴f(x)是奇函数; (2)设x1<x2,则x2-x1>0,由x>0时,f(x)<0知,f(x2-x1)<0 ∴f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0, ∴f(x1)>f(x2), ∴f(x)为R上的递减函数, ∴当x∈[-3,3]时, f(x)min=f(3)=f(1+2)=f(1)+f(1+1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=-6; ∵f(x)是奇函数, ∴f(x)max=f(-3)=-f(3)=6; (3)∵f(x2-x)-f(x)≥-6=f(3), ∴f(x2-x)≥f(3)+f(x)=f(3+x),又f(x)为R上的递减函数, ∴x2-x≤3+x, 解得:-1≤x≤3. ∴原不等式的解集为{x|-1≤x≤3}. |
举一反三
如图,已知底角为60°的等腰梯形ABCD,底边BC长为7cm,腰长为4cm,当一条垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时,直线l把梯形分成两部分,令BF=x,试写出直线l左边部分的面积y与x的函数关系式.
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已知函数f(x)=|x-1|-|x+2|. (1)用分段函数的形式表示该函数; (2)在右边所给的坐标第中画出该函数的图象; (3)写出该函数的定义域、值域、奇偶性、单调区间(不要求证明).
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设函数f(x)对任意xy∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时,f(x)>0,且f(1)=2 (1)求f(0),f(-1)的值 (2)求证:f(x)是奇函数 (3)试问在-2≤x≤4时,f(x)是否有最值;如果没有,说出理由. |
定义在(0,+∞)上的增函数f(x)满足:对任意的x>0,y>0都有f(xy)=f(x)+f(y), (1)求f(1)的值; (2)请举出一个符合条件的函数f(x); (3)若f(2)=1,解不等式f(x2-5)-f(x)<2. |
设定义域为R+的函数f(x),对任意的正实数x,y,都有f(xy)=f(x)+f(y),且当x>1时有f(x)>0. ①求f(1)的值; ②判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并证明. ③若f()=-1,求满足不等式f(1-x-2x2)≤1的x的取值范围. |
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