已知函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增，且满足f（xy）=f（x）+f（y）．（1）证明：f(xy)=f(x)-f(y)；（2）已知f（3）=1，且f（

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已知函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增，且满足f（xy）=f（x）+f（y）．
（1）证明：f(

)=f(x)-f(y)；
（2）已知f（3）=1，且f（a）＞f（a-1）+2，求a的取值范围．

答案

（1）∵对一切x，y＞0满足f（x）+f（y）=f（x•y），
∴f(

)+f(y)=f(

×y)=f(x)
因此，满足 f(

)=f(x)-f(y)，
（2）∵f（3）=1，∴2=f（3）+f（3）=f（9）；
∵f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，
∴f（a）＞f（a-1）+2，⇔

a-1＞0

a＞0

f[(a-1)•9]＜f(a)

⇔

a＞1

(a-1)•9＜a

⇔1＜a＜

，
故a的取值范围（1，

）

举一反三

在直角坐标系中，如果两点A（a，b），B（-a，-b）函数y=f（x）的图象上，那么称[A，B]为函数f（x）的一组关于原点的中心对称点（[A，B]与[B，A]看作一组）．函数g（x）=

cos

x，x≤0

log4(x+1)，x＞0

关于原点的中心对称点的组数为______．

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定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=

log

(x+1)

，x∈[0，1)

1-|x-3|

，x∈[1，+∞)

，则方程f（x）=

的所有解之和为______．

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已知函数f(x)=

2x-x2(0＜x≤3)

x2+6x(-2＜x≤0)

x+1

(-∞＜x≤-2)

．
（1）作出f（x）的图象；
（2）求f（x）的值域；
（3）求f（x）＜0时的x取值集合；
（4）讨论方程f（x）=b解的个数．

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设函数f（x）满足f（-x）=-f（x）（x∈R），且在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式

f(x)-f(-x)

≤0的解集为______．

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若定义在R上的函数对任意的x₁，x₂∈R，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-1成立，且当x＞0时，f（x）＞1，若f（4）=5，则不等式f（3m-2）＜3的解集为______．

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