已知函数f(x)=2x-x2(0＜x≤3)x2+6x(-2＜x≤0)-4xx+1(-∞＜x≤-2)．（1）作出f（x）的图象；（2）求f（x）的值域；（3）求f

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=

2x-x2(0＜x≤3)

x2+6x(-2＜x≤0)

x+1

(-∞＜x≤-2)

．
（1）作出f（x）的图象；
（2）求f（x）的值域；
（3）求f（x）＜0时的x取值集合；
（4）讨论方程f（x）=b解的个数．

答案

（1）函数的f(x)=

2x-x2(0＜x≤3)

x2+6x(-2＜x≤0)

x+1

(-∞＜x≤-2)

的图象如下图所示：

（2）由（1）中函数图象可得：
函数的f(x)=

2x-x2(0＜x≤3)

x2+6x(-2＜x≤0)

x+1

(-∞＜x≤-2)

的值域为：[-8，1]

（3）由（1）中函数图象可得：
当x＜0或2＜x≤3时，f（x）＜0
故f（x）＜0时的x取值集合为：（-∞，0）∪（2，3]

（4）当b＜-8时，函数图象与直线y=b无交点，此时方程f（x）=b无解；
当b=-8时，函数图象与直线y=b有一个交点，此时方程f（x）=b有一个解；
当-8＜b＜-4时，函数图象与直线y=b有两个交点，此时方程f（x）=b有两个解；
当b=-4时，函数图象与直线y=b无交点，此时方程f（x）=b无解；
当-4＜b＜-3时，函数图象与直线y=b有一个交点，此时方程f（x）=b有一个解；
当-3≤b＜1时，函数图象与直线y=b有两个交点，此时方程f（x）=b有两个解；
当b=1时，函数图象与直线y=b有一个交点，此时方程f（x）=b有一个解；
当b＞1时，函数图象与直线y=b无交点，此时方程f（x）=b无解．

举一反三

设函数f（x）满足f（-x）=-f（x）（x∈R），且在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式

f(x)-f(-x)

≤0的解集为______．

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若定义在R上的函数对任意的x₁，x₂∈R，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-1成立，且当x＞0时，f（x）＞1，若f（4）=5，则不等式f（3m-2）＜3的解集为______．

题型：填空题难度：简单| 查看答案

若函数f（x），g（x）满足g（x-y）=g（x）g（y）+f（x）f（y），并且f（0）=0，f（-1）=-1，f（1）=1．
（1）证明：f²（x）+g²（x）=g（0）．
（2）求g（0），g（1），g（-1），g（2）的值．
（3）判断f（x），g（x）的奇偶性．

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已知函数f（x）对任意x，y∈R，满足f（x）+f（y）=f（x+y）+2，当x＞0时，f（x）＞2．
（1）求证：f（x）在R上是增函数；
（2）当f（3）=5时，解不等式：f（a²-2a-2）＜3．

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已知函数f（x），当x，y∈R时，恒有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2
（1）求证：f（x）是奇函数
（2）试判断f（x）的单调性，并求f（x）在[-3，3]上的最值
（3）解不等式：f（x²-x）-f（x）≥-6．

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