设函数f（x）定义在R上，f（0）≠0，且对于任意a，b∈R，都有f（a+b）+f（a-b）=2f（a）f（b）．（1）求证：f（x）为偶函数；（2）若存在正数
题型：解答题难度：一般来源：不详
设函数f（x）定义在R上，f（0）≠0，且对于任意a，b∈R，都有f（a+b）+f（a-b）=2f（a）f（b）．
（1）求证：f（x）为偶函数；
（2）若存在正数m使f（m）=0，求证：f（x）为周期函数． |
答案
（1）令a=b=0，得2f（0）=2f2（0）．
∵f（0）≠0，∴f（0）=1．
又令a=0，b=x，则f（x）+f（-x）=2f（0）f（x），
∴f（-x）=f（x），即f（x）为偶函数．
（2）问题就是要证：存在T≠0，使f（x+T）=f（x）恒成立，可T为何值呢？T与 m又有何关系？不难发现一个特殊函数f（x）=cosx满足题设条件，且cos0=1，而f()=0，又y=cosx为周期函数且周期为2π，它是的4倍，于是猜想f（x）是以4m为周期的周期函数．故在条件式中令
a=m，b=x，则f（m+x）+f（m-x）=2f（m）f（x）=0，故f（m+x）=-f（m-x）．
令x取m+x，则
f（2m+x）=-f（-x）=-f（x）．
∴f（4m+x）=-f（2m+x）=-（-f（x））=f（x），得证． |
举一反三
| 已知一个函数f（x）满足：①定义域为R；②对任意的a，b∈R，若a+b=0，则f（a）+f（b）=0；③对任意的x∈R，若m＜0，则f（x）＞f（x+m），则f（x）可以是______（写出一个即可） |
| 已知函数f(x)=，若f（1）=f（-1），则实数a的值等于（ ） |
已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（1）=1，且f（x）的导数f"（x）在R上恒有f′（x）＜（x∈R），则不等式f（x2）＜+的解集为（ ）| A．（1，+∞） | B．（-∞，-1） | C．（-1，1） | D．（-∞，-1）∪（1，+∞） |
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已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（3x）=3f（x）成立；（2）当x∈（1，3]时，f（x）=3-x．给出如下结论：
①对任意m∈Z，有f（3m）=0；
②函数f（x）的值域为[0，+∞）；
③存在n∈Z，使得f（3n+1）=9．
其中所有正确结论的序号是______． |
| 已知函数f(x)=，若关于x的方程f（x）=m，（m∈R）恰有3个不同的实根x1，x2，x3，则数据x1，x2，x3的标准差为______．（s2=[(x1-) 2+(x2-) 2+…+ (xn-) 2]） |
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