已知对∀x，y＞0，有f（x，x）=x，f（x，y）=f（y，x），（x+y）f（x，y）=yf（x，x+y）（1）求f（1，4），f（2，8）的值；（2）求f
题型：解答题难度：一般来源：不详
已知对∀x，y＞0，有f（x，x）=x，f（x，y）=f（y，x），（x+y）f（x，y）=yf（x，x+y）
（1）求f（1，4），f（2，8）的值；
（2）求f（1，n），f（2，2n），其中n∈N*；
（3）求证：f（2，2n）＞f（1，n）对∀n∈N*恒成立． |
答案
由条件有：f(x，x+y)=f(x，y)，
（1）∴f(1，4)=f(1，3)=×f(1，2)=××f(1，1)=4；
∴f(2，8)=f(2，6)=× ×f(2，2)=8．
（2）由（1）知：
f(1，n)=××…×f(1，1)=n，
f(2，2n)=××…×f(2，2)=2n；
（3）由（2）知：即求证：2n＞n对∀n∈N*恒成立
证明如下：
（1）当n=1时，21＞1显然成立
（2）当n＞1时，设n=k时成立，即：2k＞k，
那么当n=k+1时，2k+1=2×2k＞2k=k+k＞k+1成立．
由（1）和（2）命题对∀n∈N*恒成立． |
举一反三
已知函数f(x)= | | (3-a)x-3 (x≤7) | | ax-6 (x＞7) |
| |
，数列an满足an=f（n）（n∈N*），且an是递增数列，则实数a的取值范围是 ______ |
| 对实数a，b定义一种运算：a⊗b=n（n为常数），具有性质（a+1）⊗b=n+1，a⊗（b+1）=n-2．若1⊗1=2，则2011⊗2011=______． |
定义域为R的函数y=f（x）满足：
①f(x+)=-f(x)；
②函数在[，]的值域为[m，2]，并且∀x1，x2∈[，]，当x1＜x2时恒有f（x1）＜f（x2）．
（1）求m的值；
（2）若f(+x)=-f(-x)，并且f(sinx+)＞0求满足条件的x的集合；
（3）设y=g（x）=2cos2x+sinx+m+2，若对于y在集合M中的每一个值，x在区间（0，π）上恰有两个不同的值与之对应，求集合M． |
| 函数f(x)=，若f（1）+f（a）=2，则a=______． |
函数f(x)= | | x+2(x≤-1) | | x2(-1＜x＜2) | | 2x(x≥2) |
| |
，则f(-)=______，若f(a)＜，则实数a的取值范围是 ______． |
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