设f（x）=|x|+2|x-a|（a＞0）．（1）当a=1时，解不等式f（x）≤8．（2）若f（x）≥6恒成立，求实数a的取值范围．
题型：解答题难度：一般来源：不详
设f（x）=|x|+2|x-a|（a＞0）．
（1）当a=1时，解不等式f（x）≤8．
（2）若f（x）≥6恒成立，求实数a的取值范围． |
答案
（1）当a=1时，f（x）=|x|+2|x-1|= | | 2-3x，x＜0 | | 2-x，0≤x≤1 | | 3x-2，x＞1 |
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当x＜0时，由2-3x≤8得，-2≤x＜0
当0≤x≤1时，由2-x≤8得，0≤x≤1
当x＞1时，由3x-2≤8得，1＜x≤
综上所述不等式f（x）≤8的解集为[-2，]
（2）∵f（x）=|x|+2|x-a|= | | 2a-3x，x＜0 | | 2a-x，0≤x≤a | | 3x-2a，x＞a |
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则f（x）在（-∞，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，
∴当x=a时，f（x）取最小值a
若f（x）≥6恒成立，则a≥6
∴实数a的取值范围为[6，+∞）． |
举一反三
若函数f（x）对于任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）．且f( 1 )=，给出如下命题：
①f（0）=0；②对于任意的x，都有f（2x）=2f（x）；③f（x）是奇函数；④对任意的x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）；⑤函数f（x）的值域也是R．你认为正确命题的序号有（ ） |
已知定义在R上的函数f（x），对任意的实数m、n，都有f（m+n）=f（m）f（n）成立，且当x＞0时，有f（x）＞1成立．
（Ⅰ）求f（0）的值，并证明当x＜0时，有0＜f（x）＜1成立；
（Ⅱ）判断函数f（x）在R上的单调性，并证明你的结论；
（Ⅲ）若f（1）=2，数列{an}满足an=f（n）（n∈N*），记Sn=++…+，且对一切正整数n有f()＞2Sn恒成立，求实数m的取值范围． |
（Ⅰ）已知奇函数f（x）（x∈R），当x＞0时，f（x）=x（5-x）+1，求f（x）在R上的表达式．
（Ⅱ）设定义在[-2，2]上的偶函数f（x）在区间[0，2]上单调递减，若f（1-m）＜f（m），求实数m的取值范围． |
定义在R上的函数f（x）满足：对于任意α，β∈R，总有f（α+β）-[f（α）+f（β）]=2012，则下列说法正确的是（ ）| A．f（x）-1是奇函数 | B．f（x）+1是奇函数 | | C．f（x）-2012是奇函数 | D．f（x）+2012是奇函数 |
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| 在直角坐标系中，如果两点A（a，b），B（-a，-b）在函数y=f（x）的图象上，那么称[A，B]为函数f（x）的一组关于原点的中心对称点（[A，B]与[B，A]看作一组）．函数g(x)=关于原点的中心对称点的组数为（ ） |
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