若函数f（x）对于任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）．且f( 1 )=19，给出如下命题：①f（0）=0；②对于任意的x，都有f（2x）=2f

题型：单选题难度：简单来源：不详

若函数f（x）对于任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）．且f( 1 )=

，给出如下命题：
①f（0）=0；②对于任意的x，都有f（2x）=2f（x）；③f（x）是奇函数；④对任意的x₁＜x₂，都有f（x₁）＜f（x₂）；⑤函数f（x）的值域也是R．你认为正确命题的序号有（　　）

A．①②③

B．①②③④

C．①②③⑤

D．①②③④⑤

答案

①∵f（x+y）=f（x）+f（y）对于任意x，y∈R都成立．
令x=y=0，则f（0）=f（0）+f（0）
解得f（0）=0；
②令y=x，代入已知条件f（x+y）=f（x）+f（y）⇒f（2x）=2f（x）；
③函数f（x）是R上的奇函数．
证明：令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴函数f（x）是R上的奇函数．
④∵f( 1 )=

，f（x+y）=f（x）+f（y）
∴所有的正数都可以用f( 1 )=

表示出来，且在（0，+∞）上是增函数
所以④⑤都成立．
故①②③④⑤都成立．
故选D．

举一反三

已知定义在R上的函数f（x），对任意的实数m、n，都有f（m+n）=f（m）f（n）成立，且当x＞0时，有f（x）＞1成立．
（Ⅰ）求f（0）的值，并证明当x＜0时，有0＜f（x）＜1成立；
（Ⅱ）判断函数f（x）在R上的单调性，并证明你的结论；
（Ⅲ）若f（1）=2，数列{a_n}满足a_n=f（n）（n∈N^*），记Sn=

+…+

，且对一切正整数n有f(

1-m

)＞2Sn恒成立，求实数m的取值范围．

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（Ⅰ）已知奇函数f（x）（x∈R），当x＞0时，f（x）=x（5-x）+1，求f（x）在R上的表达式．
（Ⅱ）设定义在[-2，2]上的偶函数f（x）在区间[0，2]上单调递减，若f（1-m）＜f（m），求实数m的取值范围．

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定义在R上的函数f（x）满足：对于任意α，β∈R，总有f（α+β）-[f（α）+f（β）]=2012，则下列说法正确的是（　　）

A．f（x）-1是奇函数	B．f（x）+1是奇函数
C．f（x）-2012是奇函数	D．f（x）+2012是奇函数

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在直角坐标系中，如果两点A（a，b），B（-a，-b）在函数y=f（x）的图象上，那么称[A，B]为函数f（x）的一组关于原点的中心对称点（[A，B]与[B，A]看作一组）．函数g(x)=

cos

x x≤0

log4(x+1)，x＞0

关于原点的中心对称点的组数为（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

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若对任意的x∈R，函数f（x）满足f（x+2012）=-f（x+2011），且f（2012）=-2012，则f（-1）=（　　）

A．1

B．-1

C．2012

D．-2012

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