工厂生产某种零件，每天需要固定成本100元，每生产1件，还需再投入资金2元，若每天生产的零件能全部售出，每件的销售收入P（x）（元）与当天生产的件数之间有以下关

题型：解答题难度：一般来源：不详

工厂生产某种零件，每天需要固定成本100元，每生产1件，还需再投入资金2元，若每天生产的零件能全部售出，每件的销售收入P（x）（元）与当天生产的件数之间有以下关系：P(x)=

83- 1 3 x2，0＜x≤10 520 x - 1331 x3 ，x＞10

设当天利润为y元．
（1）写出y关于x的函数关系式；
（2）要使当天利润最大，当天应生产多少零件？（注：利润等于销售收入减去总成本）

答案

（1）当0＜x≤10时，y=x（83-

1

3

x²）-100-2x=-

1

3

x³+81x-100；当x＞10时，y=x（

520

x

-

1331

x3

）-2x-100=-2x-

1331

x2

+420．
∴y=

- 1 3 x3+81x-100，0＜x≤10，x∈N -2x- 1331 x2 +420，x＞10，x∈N

．
（2）设函数y=h（x）=

- 1 3 x3+81x-100，0＜x≤10，x∈N -2x- 1331 x2 +420，x＞10，x∈N

．
①当0＜x≤10时，y"=81-x²，令y"=0，得出x=9．当x∈（0，9）时，y"＞0；当x∈（9，10）时，y"＜0；故x=9时，y_max=386．
②当x＞10时，y"=

-2×1331

x3

-2，令y"=0，得出x=11，当x∈（10，11）时，y"＞0；当x∈（11，+∝）时，y"＜0；故x=11时，y_max=387．
结合①②知，当x=11时，y取最大值．
故要使当天利润最大，当天应生产11件零件．