设n为正整数,规定:fn(x)=f{f[…f(x)…]}n个f,已知f(x)=2(1-x)(0≤x≤1)x-1(1<x≤2).(1)解不等式:f(x)≤x;(2
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设n为正整数,规定:fn(x)=f{f[…f(x)…]}n个f,已知f(x)=2(1-x)(0≤x≤1)x-1(1<x≤2).(1)解不等式:f(x)≤x;(2
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
设n为正整数,规定:
f
n
(x)=
f{f[…f(x)…]}
n个f
,已知
f(x)=
2(1-x)
(0≤x≤1)
x-1
(1<x≤2)
.
(1)解不等式:f(x)≤x;
(2)设集合A={0,1,2},对任意x∈A,证明:f
3
(x)=x;
(3)求
f
2008
(
8
9
)
的值.
答案
(1)①当0≤x≤1时,由2(1-x)≤x得,x≥
2
3
.
∴
2
3
≤x≤1.
②当1<x≤2时,因x-1≤x恒成立.
∴1<x≤2.
由①,②得,f(x)≤x的解集为{x|
2
3
≤x≤2}.
(2)∵f(0)=2,f(1)=0,f(2)=1,
∴当x=0时,f
3
(0)=f(f(f(0)))=f(-f(2))=f(1)=0;
当x=1时,f
3
(1)=f(f(f(1)))=f(f(0))=f(2)=1;
当x=2时,f
3
(2)=f(f(f(2)))=f(f(1))=f(0)=2.
即对任意x∈A,恒有f
3
(x)=x.
(3)
f
1
(
8
9
)=2(1-
8
9
)=
2
9
,
f
2
(
8
9
)=f(f(
8
9
))=f(
2
9
)=
14
9
,
f
3
(
8
9
)=f(
f
2
(
8
9
))=f(
14
9
)=
14
9
-1=
5
9
,
f
4
(
8
9
)=f(
f
3
(
8
9
))=f(
5
9
)=2(1-
5
9
)=
8
9
,
一般地,
f
4k+r
(
8
9
)=
f
r
(
8
9
)
(k,r∈N).
∴
f
2008
(
8
9
)=
f
0
(
8
9
)=
8
9
举一反三
已知函数f(x)=
x
2
+4x,x≥0
4x-
x
2
,x<0
若f(2-a
2
)>f(a),则实数a的取值范围为______.
题型:填空题
难度:一般
|
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设f(x)=|2-x
2
|,若0<a<b,且f(a)=f(b),则ab的取值范围是 ______.
题型:填空题
难度:简单
|
查看答案
函数
f(x)=
|3x-4|(x≤2)
2
x-1
(x>2)
,则当f(x)≥1时,自变量x的取值范围为( )
A.
[1,
5
3
]
B.
[
5
3
,3]
C.
(-∞,1)∪[
5
3
,+∞)
D.
(-∞,1)∪[
5
3
,2]
题型:单选题
难度:一般
|
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设y=f(x)为定义在区间I上的函数,若对I上任意两个实数x
1
,x
2
都有
f(
x
1
+
x
2
2
)≤
1
2
[f(
x
1
)+f(
x
2
)]
成立,则f(x)称为I上的凹函数.
(1)判断
f(x)=
3
x
(x>0)
是否为凹函数?
(2)已知函数f
2
(x)=x|ax-3|(a≠0)为区间[3,6]上的凹函数,请直接写出实数a的取值范围(不要求写出解题过程);
(3)设定义在R上的函数f
3
(x)满足对于任意实数x,y都有f
3
(x+y)=f
3
(x)•f
3
(y).求证:f
3
(x)为R上的凹函数.
题型:解答题
难度:一般
|
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y=f(x)是R上的减函数,其图象经过点A(0,1)和B(3,-1),则不等式|f(x+1)|<1的解集是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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