若实数x、y、m满足|x-m|＞|y-m|，则称x比y远离m．（1）若x2-1比1远离0，求x的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3+b3比

题型：解答题难度：一般来源：上海

若实数x、y、m满足|x-m|＞|y-m|，则称x比y远离m．
（1）若x²-1比1远离0，求x的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a³+b³比a²b+ab²远离2ab

ab

；
（3）已知函数f（x）的定义域D={{x|x≠

kπ

2

+

π

4

，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于sinx和cosx中远离0的那个值．写出函数f（x）的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）．

答案

（1）根据定义可得：|x²-1|＞1
∴x²-1＞1或x²-1＜-1
解得x∈(-∞，-

2

)∪(

2

．+∞)
（2）证明：欲证明a³+b³比a²b+ab²远离2ab

ab

即证|a³+b³-2ab

ab

|＞|a²b+ab²-2ab

ab

|，又任意两个不相等的正数a、b
即证|

b2

a

+

a2

b

-2

ab​

|＞|a+b-2

ab​

|
由于a+b≥2

ab​

，

b2

a

+

a2

b

-(a+b)=

(a+b)(a2+b2-2ab)

ab

＞0
∴

b2

a

+

a2

b

＞a+b＞2

ab

即证|

b2

a

+

a2

b

-2

ab​

|＞|a+b-2

ab​

|成立
∴|a³+b³-2ab

ab

|＞|a²b+ab²-2ab

ab

|
（3）由题意知f(x)=

sinx ，x∈(kπ+ π 4 ，kπ+ 3π 4 ) cosx ，x∈(kπ- π 4 ，kπ+ π 4 )

性质：①函数是偶函数；
②周期T=

π

2

③在区间[

kπ

2

+

π

4

，

kπ

2

+

π

2

]k∈z是增函数，在[

kπ

2

-

π

4

，

kπ

2

+

π

4

]k∈z是减函数
④最大值为1，最小值为

2

2

⑤定义域D={{x|x≠

kπ

2

+

π

4

，k∈Z，x∈R}