设函数y=f（x）（x∈R且x≠0）对定义域内任意的x1，x2恒有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）（1）求证：f（1）=f（-1）=0；（2）求证：y=

题型：解答题难度：一般来源：不详

设函数y=f（x）（x∈R且x≠0）对定义域内任意的x₁，x₂恒有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）
（1）求证：f（1）=f（-1）=0；
（2）求证：y=f（x）是偶函数；
（3）若f（x）为（0，+∞）上的增函数，解不等式f(x)+f(x-

1

2

)≤0．

答案

（1）令x₁=x₂=1，则f（1）=f（1）+f（1）
∴f（1）=0
令x₁=x₂=-1，则f（1）=f（-1）+f（-1）∴f（-1）=0
（2）x∈{x|x∈R且x≠0}关于原点对称，
令x₁=x，x₂=-1
∴f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x）
∴f（x）=f（-x）
所以f（x）在{x|x∈R且x≠0}上是偶函数．
（3）不等式f(x)+f(x-

1

2

)≤0．
即f[x(x-

1

2

)]≤f(1)
∵f（x）在{x|x∈R且x≠0}上是偶函数
且f（x）为（0，+∞）上的增函数，
∴|x(x-

1

2

)|≤1，
解得：

1- 17

4

≤x＜0或

1

2

＜x≤

1+ 17

4

．