我市沿海某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线（OA为线段

题型：解答题难度：一般来源：不详

我市沿海某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线（OA为线段，AB为某二次函数图象的一部分，B是抛物线顶点，O为原点）．
（Ⅰ）写出服药后y与t之间的函数关系式y=f（t）；
（Ⅱ）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于

4

9

微克时，对治疗有效，求服药一次治疗疾病有效的时间．

答案

（1）服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间


近似满足的曲线（OA为线段，AB为某二次函数图象的一部分，B是抛物线顶点，O为原点）．
当0≤t≤1时，y=f（t）是过（0，0）和（1，4）的线段，
设y=kt，得k=4，∴y=4t．
当1＜t≤5时，y=f（t）是项点为B（5，0），过A（1，4）的二次函数，
设y=a（t+m）²+n，则

a(5+m)2=0 a(1+m)2+n=4

，解得m=-5，n=0，a=

1

4

．
∴y=

1

4

(t-5)2．
故y=

4t，0≤t≤1 1 4 (t-5)2，1＜t≤5.

…（6分）
（2）当0≤t≤1时，4t≥

4

9

，解得

1

9

≤t≤1；
当1＜t≤5时，

1

4

(t-5)2≥

4

9

，解得t≥

19

3

，或t≤

11

3

，∴1＜t≤

11

3

，
∴

1

9

≤t≤

11

3

，

11

3

-

1

9

=

32

9

．
故服药一次治疗疾病的有效时间为

32

9

小时．