定义在[1,+∞)上的函数f(x)满足:①f(2x)=cf(x)(c为正常数);②当2≤x≤4时,f(x)=1-(x-3)2,若函数f(x)的图象上所有极大值对
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定义在[1,+∞)上的函数f(x)满足:①f(2x)=cf(x)(c为正常数);②当2≤x≤4时,f(x)=1-(x-3)2,若函数f(x)的图象上所有极大值对
题型:单选题
难度:一般
来源:河北模拟
定义在[1,+∞)上的函数f(x)满足:①f(2x)=cf(x)(c为正常数);②当2≤x≤4时,f(x)=1-(x-3)
2
,若函数f(x)的图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上,则c等于( )
A.1
B.2
C.1或2
D.4或2
答案
∵当2≤x≤4时,f(x)=1-(x-3)
2
当1≤x<2时,2≤2x<4,
则f(x)=
1
c
f(2x)=
1
c
[1-(2x-3)
2
]
此时当x=
3
2
时,函数取极大值
1
c
当2≤x≤4时,f(x)=1-(x-3)
2
此时当x=3时,函数取极大值1
当4<x≤8时,2<
1
2
x≤4
则f(x)=cf(
1
2
x)=c(1-(
1
2
x-3)
2
,
此时当x=6时,函数取极大值c
∵函数的所有极大值点均落在同一条直线上,
即点(
3
2
,
1
c
),(3,1),(6,c)共线,
∴
1-
1
c
3-
3
2
=
c-1
6-3
解得c=1或2.
故选C
举一反三
设函数f(x)=
-x,x≤0
x
2
,x>0
,若f(a)=4,则实数a=( )
A.-4或-2
B.-4或2
C.-2或4
D.-2或2
题型:单选题
难度:一般
|
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设函数y=f(x)的定义域为R
+
,若对于给定的正数K,定义函数
f
K
(x)=
K,f(x)≤K
f(x),f(x)>K
,则当函数f(x)=
1
x
,K=1时,
∫
2
1
4
f
K
(x)dx的值为( )
A.2ln2
B.2ln2-1
C.2ln2
D.2ln2+1
题型:单选题
难度:简单
|
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已知:f(0)=1,对于任意实数x、y,等式f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)恒成立,求f(x)的解析式.
题型:解答题
难度:一般
|
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若函数
f(x)=
3
x
2
-4(x>0)
π(x=0)
0(x<0)
,则f(f(0))=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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函数f(x)的定义域为A,若x
1
,x
2
∈A且f(x
1
)=f(x
2
)时总有x
1
=x
2
,则称f(x)为单函数.例如,函数f(x)=2x+1(x∈R)是单函数.下列命题:
①函数f(x)=x
2
(x∈R)是单函数;
②若f(x)为单函数,x
1
,x
2
∈A且x
1
≠x
2
,则f(x
1
)≠f(x
2
);
③若f:A→B为单函数,则对于任意b∈B,它至多有一个原象;
④函数f(x)在某区间上具有单调性,则f(x)一定是单函数.
其中的真命题是______.(写出所有真命题的编号)
题型:填空题
难度:一般
|
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