设函数f（x）=|x+a+1|+|x+a-1|的图象关于y轴对称，函数g（x）=-x3+bx2+cx（b为实数，c为正整数）有两个不同的极值点A、B，且A、B与

题型：解答题难度：困难来源：0103 模拟题

设函数f（x）=|x+a+1|+|x+a-1|的图象关于y轴对称，函数g（x）=-x³+bx²+cx（b为实数，c为正整数）有两个不同的极值点A、B，且A、B与坐标原点O共线。
（1）求f（x）的表达式；
（2）试求b的值；
（3）若x≥0时，函数g（x）的图象恒在函数f（x）图象的下方，求正整数c的值。

答案

解：（1）由函数f（x）的图象关于y轴对称，得f（-1）=f（1）即
解得a=0
所以；
（2）设是函数g（x）的两个极值点，则是方程
的两个不等实根，则
（c为正整数）
∴
又∵A、O、B三点共线
∴
即
又∵
∴；
∴
（3）∵=2
∴
又∵
令，则
在上单调递减，在上单调递增
∵
∴
∴
满足题意只需
∴，即c=1或2。