已知定义在R上的函数f(x)=-2x3+bx2+cx(b,c∈R),函数F(x)=f(x)-3x2是奇函数,函数f(x)在x=-1处取极值.(1)求f(x)的解
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已知定义在R上的函数f(x)=-2x3+bx2+cx(b,c∈R),函数F(x)=f(x)-3x2是奇函数,函数f(x)在x=-1处取极值. (1)求f(x)的解析式; (2)讨论f(x)在区间[-3,3]上的单调性. |
答案
(1)∵函数F(x)=f(x)-3x2是奇函数, ∴F(-x)=-F(x),化简计算得b=3. ∵函数f(x)在x=-1处取极值,∴f′(x)=0. f(x)=-2x3+3x2+cx,f′(x)=-6x2+6x+c ∴f′(-1)=-6-6+c=0,c=12. ∴f(x)=-2x3+3x2+12x, (2)f′(x)=-6x2+6x+12=-6(x2-x-2). 令f′(x)=0,得x1=-1,x2=2,
∴函数f(x)在[-3,-1]和[2,3]上是减函数, 函数f(x)在[-1,2]上是增函数. |
举一反三
水以20m3/分的速度流入一圆锥形容器,设容器深30m,上底直径12,当水深10m时,水面上升的速度为______. |
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细杆AB长为20cm,AM段的质量与A到M的距离平方成正比,当AM=2cm时,AM段质量为8g,那么当AM=x时,M处的细杆线密度ρ(x)为( ) |
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已知f(x)是一次函数,满足3f(x+1)=6x+4,则f(x)=______. |
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