一般地,我们把函数h(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n∈N)称为多项式函数,其中系数a0,a1,…,an∈R.设 f(x),g(x)为两个
题型:解答题难度:一般来源:不详
一般地,我们把函数h(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n∈N)称为多项式函数,其中系数a0,a1,…,an∈R. 设 f(x),g(x)为两个多项式函数,且对所有的实数x等式f[g(x)]=g[f(x)]恒成立. (Ⅰ) 若f(x)=x2+3,g(x)=kx+b(k≠0). ①求g(x)的表达式; ②解不等式f(x)-g(x)>5. (Ⅱ)若方程f(x)=g(x)无实数解,证明方程f[f(x)]=g[g(x)]也无实数解. |
答案
(Ⅰ)①∵f[g(x)]=g[f(x)]即(kx+b)2+3=k(x2+3)+b k2x2+2kbx+b2+3=kx2+3k+b ∴解得∴g(x)=x ②f(x)-g(x)>5,即x2-x+3>5 解得 x>2或x<-1 (Ⅱ)反证法:F(x)=f(x)-g(x)则 F[f(x)]=f[f(x)]-g[f(x)]F[g(x)]=f[g(x)]-g[g(x)]若结论成立,则推出 F[f(x)]+F[g(x)]=0; 即F[f(x)]=-F[g(x)]说明存在一点a,a介于f(x)与g(x)之间,满足F(a)=0 因为f(x)=g(x)无实数解,则F(x)=0永远不成立,推出假设不成立, 方程f(x)=g(x)无实数解,方程f[f(x)]=g[g(x)]也无实数解.证毕 |
举一反三
已知函数f(x)在x=1处的导数为3,f(x)的解析式可能为( )A.f(x)=(x-1)2+3(x-1) | B.f(x)=2(x-1) | C.f(x)=2(x-1)2 | D.f(x)=(x-1)2 |
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若曲线上每一点处的切线都平行于x轴,则此曲线对应的函数解析式f(x)=______. |
已知y=f(x)是二次函数,若方程f(x)=0有两个相等的实根,且f(x)"=2x+2,则函数f(x)的表达式是( )A.f(x)=x2-2x+1 | B.f(x)=2x2+2x+1 | C.f(x)=x2+2x+1 | D.f(x)=x2+x+ |
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已知定义在实数集R上的函数f(x)=ax3+bx2+cx+d,其中a,b,c,d是实数. (1)若函数f(x)在区间(-∞,-1)和(3,+∞)上都是增函数,在区间(-1,3)上是减函数,并且f(0)=-7,f′(0)=-18,求函数f(x)的表达式; (2)若a,b,c满足b2-3ac<0,求证:函数f(x)是单调函数. |
已知函数f(x)=kx+b(k≠0),f(10)=20,又f(1),f(3),f(9)成等比数列. (I)求函数f(x)的解析式; (II)设an=2f(n)+2n,求数列{an}的前n项和Sn. |
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