(I)f′(x)=[x2+(a+2)x+a+b]ex 由f′(0)=0得b=-a∴f′(x)=[x2+(a+2)x]ex 又f′(2)=2e2 ∴[4+2(a+2)]e2=2e2 故a=-3 令f′(x)=(x2-x)ex≥0得x≤0或x≥1 令f′(x)=(x2-x)ex<0得0<x<1 故:f(x)=(x2-3x+3)gx,单调增区间是(-∞,o],[1,+∞),单调减区间是(0,1). (Ⅱ)假设方程g(x)=(m-1)2在区间(-2,m)上存在实数根 设x0是方程g(x)= (m-1)2的实根,- x0 = (m-1)2, 令h(x)=x2-x-(m-1)2,从而问题转化为证明方程h(x)=x2-x-(m-1)2=0 在(-2,m)上有实根,并讨论解的个数 因为h(-2)=6-(m-1)2=-(m+2) (m-4) ,h(m)=m(m-1)-(m-1)2= (m+2)(m-1), 所以 ①当m>4或-2<m<1时,h(2)-h(m)<0,所以h(x)=0在(-2,m)上有解,且只有一解 ②当1<m<4时,h(-2)>0且h(m)>0,但由于h(0)=-(m-1)2 <0, 所以h(x)=0在(-2,m)上有解,且有两解 ③当m=1时,h(x)=x2-x=0⇒x=0或x=1,所以h(x)=0在(-2,m)上有且只有一解; 当m=4时,h(x)=x2-x6=0⇒x=-2或x=3, 所以h(x)=0在(-2,4)上也有且只有一解, 综上所述,对于任意的m>-2,方程g(x)=(m-1)2在区间(-2,m)上均有实数根 且当m≥4或-2<m≤1时,有唯一的实数解;当1<m<4时,有两个实数解. |