定义在R上的函数f(x)=ax3+bx2+cx+d满足:函数f(x+2)的图象关于点(-2,0)对称;函数f(x)的图象过点P(3,-6);函数f(x)在点x1
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定义在R上的函数f(x)=ax3+bx2+cx+d满足:函数f(x+2)的图象关于点(-2,0)对称;函数f(x)的图象过点P(3,-6);函数f(x)在点x1
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
定义在R上的函数f(x)=ax
3
+bx
2
+cx+d满足:函数f(x+2)的图象关于点(-2,0)对称;函数f(x)的图象过点P(3,-6);函数f(x)在点x
1
,x
2
处取得极值,且|x
1
-x
2
|=4.
(1)求f(x)表达式;
(2)求曲线y=f(x)在点P处的切线方程;
(3)求证:∀α、β∈R,
-
64
3
≤f(2cosα)-f(2sinβ)≤
64
3
.
答案
(1)f(x+2)的图象关于点(-2,0)对称,即f(x)的图象关于点(0,0)对称,
∴d=0,b=0,
又函数f(x)的图象过点P(3,-6),∴9a+c=-2,
f(x)=ax
3
+bx
2
+cx=0两根为x
1
,x
2
,且|x
1
-x
2
|=4,
∴
4
b
2
-12ac>0
x
1
+
x
2
=-
2b
3a
x
1
x
2
=
c
3a
⇒
ac<0
x
1
x
2
=0
x
1
x
2
=
c
3a
=-4
又|x
1
-x
2
|
2
=
4
b
2
9
a
2
-
4c
3a
=16,c=-12a
∴a=
2
3
,b=0,c=-8,d=0,
∴f(x)=
2
3
x
3
-8x;
(2)f′(x)=2x
2
-8,f′(3)=18,
∴切线方程为:10x-y-36=0;
(3)当-2≤x≤2时,f′(x)=2x
2
-8≤0,∴f(x)在[-2,2]上递减,
又∀α∈R,-2≤2cosα≤2,∴
-
32
3
≤f(2)≤f(2cosα)≤f(-2)=
32
3
,
同理,
-
32
3
≤f(2)≤f(2sinβ)≤f(-2)=
32
3
,
∴∀α、β∈R,
-
64
3
≤f(2cosα)-f(2sinβ)≤
64
3
.
举一反三
已知函数y=kx与y=x
2
+2(x≥0)的图象相交于A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),l
1
,l
2
分别是y=x
2
+2(x≥0)的图象在A,B两点的切线,M,N分别是l
1
,l
2
与x轴的交点.
(I)求k的取值范围;
(II)设t为点M的横坐标,当x
1
<x
2
时,写出t以x
1
为自变量的函数式,并求其定义域和值域;
(III)试比较|OM|与|ON|的大小,并说明理由(O是坐标原点).
题型:解答题
难度:一般
|
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已知x=0是函数f(x)=(x
2
+ax+b)e
x
(x∈R)的一个极值点,且函数f(x)的图象在x=2处的切线的斜率为2e
2
.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式并求单调区间.
(Ⅱ)设g(x)=
f′(x)
e
x
,其中x∈[-2,m],问:对于任意的m>-2,方程g(x)=(m-1)
2
在区间(-2,m)上是否存在实数根?若存在,请确定实数根的个数.若不存在,请说明理由.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=ax
3
+bx
2
+cx+d(a≠0),当x=1时有极大值4,当x=3时有极小值0,且函数图象过原点,则f(x)的表达式为( )
A.x
3
+6x
2
+9x
B.x
3
-6x
2
-9x
C.x
3
-6x
2
+9x
D.x
3
+6x
2
-9x
题型:单选题
难度:一般
|
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已知三次函数f(x)的导函数为f′(x),且f′(1)=0,f′(2)=3,f′(3)=12.
(Ⅰ)求f(x)-f(0)的表达式;
(Ⅱ)若对任意的x∈[-1,4],都有f(x)>f"(x)成立,求f(0)的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数
f(x)=
ax
x
2
+b
,在x=1处取得极值为2.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)若函数f(x)在区间(m,2m+1)上为增函数,求实数m的取值范围;
(Ⅲ)若直线l与
f(x)=
ax
x
2
+b
图象相切于点P(x
0
,y
0
),求直线l的斜率的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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