已知函数y=kx与y=x2+2(x≥0)的图象相交于A(x1,y1),B(x2,y2),l1,l2分别是y=x2+2(x≥0)的图象在A,B两点的切线,M,N分
题型:解答题难度:一般来源:北京
已知函数y=kx与y=x2+2(x≥0)的图象相交于A(x1,y1),B(x2,y2),l1,l2分别是y=x2+2(x≥0)的图象在A,B两点的切线,M,N分别是l1,l2与x轴的交点. (I)求k的取值范围; (II)设t为点M的横坐标,当x1<x2时,写出t以x1为自变量的函数式,并求其定义域和值域; (III)试比较|OM|与|ON|的大小,并说明理由(O是坐标原点). |
答案
(I)由方程消y得x2-kx+2=0.① 依题意,该方程有两个正实根, 故解得k>2. (II)由f′(x)=2x,求得切线l1的方程为y=2x1(x-x1)+y1, 由y1=x12+2,并令y=0,得t=-,x1,x2是方程①的两实根, 且x1<x2,故x1==,k>2, x1是关于k的减函数,所以x1的取值范围是(0,). t是关于x1的增函数,定义域为(0,),所以值域为(-∞,0). (III)当x1<x2时,由(II)可知|OM|=|t|=-+. 类似可得|ON|=-.|OM|-|ON|=-+. 由①可知x1x2=2. 从而|OM|-|ON|=0. 当x2<x1时,有相同的结果|OM|-|ON|=0. 所以|OM|=|ON|. |
举一反三
已知x=0是函数f(x)=(x2+ax+b)ex(x∈R)的一个极值点,且函数f(x)的图象在x=2处的切线的斜率为2e2. (Ⅰ)求函数f(x)的解析式并求单调区间. (Ⅱ)设g(x)=,其中x∈[-2,m],问:对于任意的m>-2,方程g(x)=(m-1)2在区间(-2,m)上是否存在实数根?若存在,请确定实数根的个数.若不存在,请说明理由. |
已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),当x=1时有极大值4,当x=3时有极小值0,且函数图象过原点,则f(x)的表达式为( )A.x3+6x2+9x | B.x3-6x2-9x | C.x3-6x2+9x | D.x3+6x2-9x |
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已知三次函数f(x)的导函数为f′(x),且f′(1)=0,f′(2)=3,f′(3)=12. (Ⅰ)求f(x)-f(0)的表达式; (Ⅱ)若对任意的x∈[-1,4],都有f(x)>f"(x)成立,求f(0)的取值范围. |
已知函数f(x)=,在x=1处取得极值为2. (Ⅰ)求函数f(x)的解析式; (Ⅱ)若函数f(x)在区间(m,2m+1)上为增函数,求实数m的取值范围; (Ⅲ)若直线l与f(x)=图象相切于点P(x0,y0),求直线l的斜率的取值范围. |
已知:函数y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称,当x>0时,f(x)=x2-2x,则当x<0时,f(x)=( )A.x2-2x | B.x2-2 | C.-x2+2x | D.x2+2x |
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