已知函数f(x)=x2+cax+b为奇函数,f(1)<f(3),且不等式0≤f(x)≤32的解集为[-2,-1]∪[2,4],则f(x)的解析式为______.

已知函数f(x)=x2+cax+b为奇函数,f(1)<f(3),且不等式0≤f(x)≤32的解集为[-2,-1]∪[2,4],则f(x)的解析式为______.

题型:填空题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=
x2+c
ax+b
为奇函数,f(1)<f(3),且不等式0≤f(x)≤
3
2
的解集为[-2,-1]∪[2,4],则f(x)的解析式为______.
答案
∵函数f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),
x2+c
-ax+b
=
x2+c
-ax-b
,即-ax+b=-ax-b,即2b=0,
∴b=0.
由已知不等式0≤f(x)≤
3
2
的解集为[-2,-1]∪[2,4],





f(2)≥0
f(-2)≥0

又∵f(-2)=-f(2),
∴f(2)=0,即
22+c
2a
=0
,即c+4=0,
∴c=-4.
∴可得f(x)=
x2-4
ax

由f(1)<f(3),得
1-4
a
9-4
3a
,∴
-3
a
5
3a
,∴
14
3a
>0
,得a>0.
由0≤f(x)≤
3
2
,得0≤
x2-4
ax
3
2

当x>0时,上不等式可化为





x2-4≥0
2x2-3ax-8≤0
,可化为





x≥2
2x2-3ax-8≤0

∵当x>0时,其解集为[2,4],
∴4是方程2x2-3ax-8=0的解,
∴2×42-3×4a-8=0,∴a=2.
可验证当a=2,b=0,c=-4时,满足题意.
故f(x)的解析式为f(x)=
x2-4
2x

故答案为f(x)=
x2-4
2x
举一反三
已知f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=x|x-2|,则x<0时,f(x)的表达式为(  )
A.f(x)=x|x+2|B.f(x)=x|x-2|C.f(x)=-x|x+2|D.f(x)=-x|x-2|
题型:单选题难度:一般| 查看答案
求下列函数的表达式:
(1)一次函数f(x)使得f{f[f(x)]}=-8x+3,求f(x)的表达式;
(2)已知f(x)满足f(x)+2f(
1
x
)=3x
,求f(x)的表达式.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)满足2f(x)+3f(-x)=x2+x,则f(x)=______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
设函数f(x)=3x-2,函数g(x)=5x+3,则f(g(x))-g(f(x))=______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
已知二次函数y=f(x)满足条件f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,则函数f(x)的表达式为______.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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