已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)满足f(-1)=0,且对任意的x∈R,总有f(x)-x≥0,并且当x∈(0,2)时f(x)≤(x+12)
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已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)满足f(-1)=0,且对任意的x∈R,总有f(x)-x≥0,并且当x∈(0,2)时f(x)≤(x+12)
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知二次函数f(x)=ax
2
+bx+c(a,b,c∈R)满足f(-1)=0,且对任意的x∈R,总有f(x)-x≥0,并且当x∈(0,2)时
f(x)≤(
x+1
2
)
2
,求f(x)的解析式.
答案
∵对任意的x∈R,总有f(x)-x≥0,并且当x∈(0,2)时
f(x)≤(
x+1
2
)
2
,
∴当x=1时,有1≤f(1)≤1,即f(1)=1,结合f(-1)=0可得
a-b+c=0
a+b+c=1
,
解得a+c=b=
1
2
,又∵对于一切实数x,f(x)-x≥0恒成立,
∴ax
2
+(b-1)x+c≥0(a≠0),对于一切实数x恒成立,
∴
a>0
△=(b-1
)
2
-4ac≤0
,即
a>0
ac≥
1
16
,
∵a+c=
1
2
,且a+c≥2
ac
=
1
2
,
∴当且只有当a=c=
1
4
时,不等式成立,
∴f(x)=
1
4
x
2
+
1
2
x+
1
4
举一反三
f(x)为偶函数,x≥0时f(x)=2x-x
2
(a,b∈R),则x<0时,f(x)=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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若
f(
1
x
)=
x
1-x
,则f(x)=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知函数f(x)满足f(x+1)=x
2
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题型:填空题
难度:一般
|
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B.3x-2
C.2x+3
D.2x-3
题型:单选题
难度:简单
|
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3
-2x
2
-x,则当x<0时,f(x)=______.
题型:填空题
难度:简单
|
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