已知函数f(x)=ax3+bx,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=2x-2.(1)求函数f(x)的解析式;(2)过点(2,2)能作几条直线与

已知函数f(x)=ax3+bx,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=2x-2.(1)求函数f(x)的解析式;(2)过点(2,2)能作几条直线与

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已知函数f(x)=ax3+bx,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=2x-2.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)过点(2,2)能作几条直线与曲线y=f(x)相切?说明理由.
答案
(1)f′(x)=3ax2+b,由题知…(1分)





f′(1)=2
f(1)=2-2=0





3a+b=2
a+b=0





a=1
b=-1

∴f(x)=x3-x…(5分)
(2)设过点(2,2)的直线与曲线y=f(x)相切于点(t,f(t)),则切线方程为:y-f(t)=f′(t)(x-t)
即y=(3t2-1)x-2t3…(7分)
由切线过点(2,2)得:2=(3t2-1)•2-2t3,过点(2,2)可作曲线y=f(x)的切线条数就是方程t3-3t2+2=0的实根个数…(9分)
令g(t)=t3-3t2+2,则g′(t)=3t(t-2)
由g′(t)=0得t1=0,t2=2
当t变化时,g(t)、g′(t)的变化如下表
举一反三
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t(-∞,0)0(0,2)2(2,+∞)
g′(t)+0-0+
g(t)极大值2极小值-2
半径为R与r的⊙A与⊙B都经过同一个点D(4,5)且与两坐标轴都相切,则R与r的关系是______.
已知函数f(x)=log
1
2
(x+1),当点P(x0,y0)在函数y=f(x)的图象上移动时,点Q(
x0-t+1
2
y0) (t∈R)
在函数y=g(x)的图象上移动.
(1)若x0=1,且点Q也在函数y=f(x)的图象上,求y0,t的值;
(2)当t=0时,求函数y=g(x)的解析式.
已知定义在R上的奇函数f(x)=x3+bx2+cx+d在x=±1处取得极值.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)试证:对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤4成立;
(Ⅲ)若过点P(m,n),(m、n∈R,且|m|<2)可作曲线y=f(x)的三条切线,试求点P对应平面区域的面积.
某品牌儿童服装每件售价60元,不征收附加税时,每年销售80万件;若征收附加税,即每销售值100元征收R元(叫做税率R%),则每年的销售量将减少
20
3
R
万件.若在此项经营中,每年征收附加税不少于128万元.问:税率R应怎样确定?
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,当x=-1时,f(x)的极大值为7;当x=3时,f(x)有极小值.求:
(1)a,b,c的值;
(2)函数f(x)的极小值.