已知函数f（x）=ax3+bx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x-2．（1）求函数f（x）的解析式；（2）过点（2，2）能作几条直线与
题型：解答题难度：一般来源：不详
已知函数f（x）=ax3+bx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x-2．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）过点（2，2）能作几条直线与曲线y=f（x）相切？说明理由． |
答案
（1）f′（x）=3ax2+b，由题知…（1分）
⇒⇒
∴f（x）=x3-x…（5分）
（2）设过点（2，2）的直线与曲线y=f（x）相切于点（t，f（t）），则切线方程为：y-f（t）=f′（t）（x-t）
即y=（3t2-1）x-2t3…（7分）
由切线过点（2，2）得：2=（3t2-1）•2-2t3，过点（2，2）可作曲线y=f（x）的切线条数就是方程t3-3t2+2=0的实根个数…（9分）
令g（t）=t3-3t2+2，则g′（t）=3t（t-2）
由g′（t）=0得t1=0，t2=2
当t变化时，g（t）、g′（t）的变化如下表
| t | （-∞，0） | 0 | （0，2） | 2 | （2，+∞） | | g′（t） | + | 0 | - | 0 | + | | g（t） | ↗ | 极大值2 | ↘ | 极小值-2 | ↗ |
举一反三
| 半径为R与r的⊙A与⊙B都经过同一个点D（4，5）且与两坐标轴都相切，则R与r的关系是______． | 已知函数f（x）=log（x+1），当点P（x0，y0）在函数y=f（x）的图象上移动时，点Q(，y0) (t∈R)在函数y=g（x）的图象上移动．
（1）若x0=1，且点Q也在函数y=f（x）的图象上，求y0，t的值；
（2）当t=0时，求函数y=g（x）的解析式． | 已知定义在R上的奇函数f（x）=x3+bx2+cx+d在x=±1处取得极值．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）试证：对于区间[-1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f（x1）-f（x2）|≤4成立；
（Ⅲ）若过点P（m，n），（m、n∈R，且|m|＜2）可作曲线y=f（x）的三条切线，试求点P对应平面区域的面积． | | 某品牌儿童服装每件售价60元，不征收附加税时，每年销售80万件；若征收附加税，即每销售值100元征收R元（叫做税率R%），则每年的销售量将减少R万件．若在此项经营中，每年征收附加税不少于128万元．问：税率R应怎样确定？ | 已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，当x=-1时，f（x）的极大值为7；当x=3时，f（x）有极小值．求：
（1）a，b，c的值；
（2）函数f（x）的极小值． |
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