已知定义在R上的奇函数f(x)=x3+bx2+cx+d在x=±1处取得极值.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)试证:对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值x
题型:解答题难度:一般来源:福建模拟
已知定义在R上的奇函数f(x)=x3+bx2+cx+d在x=±1处取得极值. (Ⅰ)求函数f(x)的解析式; (Ⅱ)试证:对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤4成立; (Ⅲ)若过点P(m,n),(m、n∈R,且|m|<2)可作曲线y=f(x)的三条切线,试求点P对应平面区域的面积. |
答案
(I)由题意f(0)=0, ∴d=0, ∴f′(x)=3x2+2bx+c,又f′(1)=f′(-1)=0, 即, 解得b=0,c=-3. ∴f(x)=x3-3x; (II)∵f(x)=x3-3x,f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1), 当-1<x<1时,f′(x)<0, 故f(x)在区间[-1,1]上为减函数, ∴fmax(x)=f(-1)=2,fmin(x)=f(1)=-2 对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值x1,x2, ∴|f(x1)-f(x2)|≤f(-1)-f(1)=4; (III)设切点为M(x0,y0), 则点M的坐标满足y0=x03-3x0. 因f′(x0)=3(x02-1), 故切线l的方程为:y-y0=3(x02-1)(x-x0), ∵P(m,n)∈l,∴n-(x03-3x0)=3(x02-1)(m-x0) 整理得2x03-3mx02+3m+n=0. ∵若过点P(m,n)可作曲线y=f(x)的三条切线, ∴关于x0方程2x03-3mx02+3m+n=0有三个实根. 设g(x0)=2x03-3mx02+3m+n, 则g′(x0)=6x02-6mx0=6x0(x0-m), 由g′(x0)=0,得x0=0或x0=m. 由对称性,先考虑m>0 ∵g(x0)在(-∞,0),(m,+∞)上单调递增, 在(0,m)上单调递减. ∴函数g(x0)=2x03-3mx02+3m+n的极值点为x0=0,或x0=m ∴关于x0方程2x03-3mx02+3m+n=0有三个实根的充要条件是, 解得-3m<n<m3-3m. 故0<m<2时,点P对应平面区域的面积 S=(m3-3m)-(-3m)dm=m3dm=m4=4 故|m|<2时,所求点P对应平面区域的面积为2S,即8. |
举一反三
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