已知常数a、b、c都是实数,函数f(x)=x33+a2x2+bx+c的导函数为f′(x)(Ⅰ)设a=f′(2),b=f′(1),c=f′(0),求函数f(x)的
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已知常数a、b、c都是实数,函数f(x)=x33+a2x2+bx+c的导函数为f′(x)(Ⅰ)设a=f′(2),b=f′(1),c=f′(0),求函数f(x)的
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知常数a、b、c都是实数,函数
f(x)=
x
3
3
+
a
2
x
2
+bx+c
的导函数为f′(x)
(Ⅰ)设a=f′(2),b=f′(1),c=f′(0),求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)设 f′(x)=(x-γ)(x-β),且1<γ≤β<2,求f′(1)•f′(2)的取值范围.
答案
(Ⅰ)由题意可得,f′(x)=x
2
+ax+b.
∴
4+2a+b=a
1+a+b=b
b=c
,
解得:
a=-1
b=c=-3
.
∴
f(x)=
x
3
3
-
1
2
x
2
-3x-3
.
(II)∵f′(x)=(x-γ)(x-β).
又 1<γ≤β<2,
∴f′(1)=(1-γ)(1-β)>0,f′(2)=(2-γ)(2-β)>0
∴f′(1)•f′(2)=(1-γ)(1-β)(2-γ)(2-β)
=[(γ-1)(2-γ)]•[(β-1)(2-β)]
≤(
γ-1+2-γ
2
)
2
•(
β-1+2-β
2
)
2
=
1
16
∴
0<f′(1)•f′(2)≤
1
16
举一反三
已知A、B、C是直线l上的三点,向量
OA
,
OB
,
OC
满足
OA
=[f(x)+2f′(1)x]
OB
-lnx•
OC
,则函数y=f(x)的表达式为______.
题型:填空题
难度:简单
|
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已知当x>4时,f(x)=2
x-1
,且f(4-x)=f(4+x)恒成立,则当x<4时,f(x)=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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f(x)是定义域为R的奇函数,当x<0时,f(x)=x
2
-3x+1,则f(x)=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知A,B两地相距200km,一只船从A地逆流行驶到B地,水流速为8km/h,船在静水中的速度为vkm/h,(8<v≤20),若船每小时的燃料费与在静水中的速度的平方成正比,当v=12km/h时,每小时燃料费为720元.
(1)设船每小时的燃料费为L,求L与v的关系式;
(2)为了使全程燃料费最省,船的实际速度为多少?
题型:解答题
难度:一般
|
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已知二次函数f(x)=ax
2
+bx+c,(a,b,c∈R)满足:对任意实数x,都有f(x)≥x,且当x∈(1,3)时,有
f(x)≤
1
8
(x+2
)
2
成立.
(1)证明:f(2)=2;
(2)若f(-2)=0,求f(x)的表达式.
题型:解答题
难度:一般
|
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