已知函数f(x)=x-bx-1，它的图象过点（2，-1）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设k＞1，解关于x的不等式：f(x)•x-kx-1＜0、

题型：解答题难度：一般来源：东城区二模

已知函数f(x)=

x-b

x-1

，它的图象过点（2，-1）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设k＞1，解关于x的不等式：f(x)•

x-k

x-1

＜0、

答案

（1）依题意函数f（x）过点（2，-1），有-1=

2-b

2-1

，解得b=3．
故f(x)=

x-3

x-1

．（4分）
（2）由

x-3

x-1

•

x-k

x-1

＜0，得

(x-3)(x-k)

(x-1)2

＜0．
原不等式等价于

x-1≠0

(x-3)(x-k)＜0

（6分）
当k＞3时，

x-1≠0

(x-3)(x-k)＜0

⇔3＜x＜k.（8分）
当1＜k＜3时，

x-1≠0

(x-3)(x-k)＜0

⇔k＜x＜3.（10分）
当k=3时，

x-1≠0

(x-3)(x-k)＜0

此时不等式组无解（12分）
所以，当k＞3时，不等式的解集为{x|3＜x＜k}；
当1＜k＜3时，不等式的解集为{x|k＜x＜3}；
当k=3时，不等式的解集为空集．（13分）

举一反三

已知函数f（x）=x²+mx+n的图象过点（1，3），且f（-1+x）=f（-1-x）对任意实数都成立，函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于原点对称．
（1）求f（x）与g（x）的解析式；
（2）若F（x）=g（x）-λf（x）在[-1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．

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定义在R上的函数f（x）=ax³+cx，满足：①函数f（x）图象过点（3，-6）；②函数f（x）在x₁，x₁处取得极值且|x₁-x₂|=4．
求：（1）函数f（x）的表达式；
（2）若a，β∈R，求证：|f（2cosa）-f（2sinβ）|≤

．

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已知函数f（x）=x²，g（x）=2elnx（x＞0）（e为自然对数的底数）．
（1）当x＞0时，求证：f′（x）+g′（x）≥4

；
（2）求F（x）=f（x）-g（x）（x＞0）的单调区间及最小值；
（3）试探究是否存在一次函数y=kx+b（k，b∈R），使得f（x）≥kx+b且g（x）≤kx+b对一切x＞0恒成立，若存在，求出该一次函数的表达式；若不存在，请说明理由．

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对于函数f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，则称x₀为f（x）的不动点．如果函数f(x)=

x2+a

bx-c

(b，c∈N)有且只有两个不动点0，2，且f(-2)＜-

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）已知各项不为零的数列{a_n}满足4Sn•f(

)=1，求数列通项a_n；
（3）如果数列{a_n}满足a_n=f（a_n），求证：当n≥2时，恒有a_n＜3成立．

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已知f（x）=x³+bx²+cx+d在（-∞，0]上是增函数，在[0，2]上是减函数，且f（x）=0有三个根α，2，β（α≤2≤β）．
（Ⅰ）求c的值，并求出b和d的取值范围；
（Ⅱ）求证f（1）≥2；
（Ⅲ）求|β-α|的取值范围，并写出当|β-α|取最小值时的f（x）的解析式．

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