(1)∵x>0,f′(x)=2x,g′(x)=, ∴f′(x)+g′(x)=2(x+)≥2×2=4, 当且仅当x=,即x=时,等号成立. ∴f′(x)+g′(x)≥4;(4分) (2)F′(x)=f′(x)-g′(x) =2(x-)=(x>0), 令F′(x)=0,得x=(x=-舍), ∴当0<x<时,F′(x)<0,F(x) 在(0,)上单调递减; 当x>时,F′(x)>0,F(x) 在(+∞)上单调递增.(8分) ∴当x=时,F(x)有极小值,也是最小值, 即F(x)min=F()=e-2eln=0. ∴F(x)的单调递增区间为(,+∞), 单调递减区间为(0,), 最小值为0;(10分) (3)由(2)知,f(x)与g(x) 的图象有且仅有一个公共点(,e), ∴猜想:一次函数的图象就是f(x)与g(x) 的图象在点(,e)处的公切线, 其方程为y=2x-e.(12分) 下面证明:当x>0时,f(x)≥2x-e, 且g(x)≤2x-e恒成立. 又∵f(x)-(2x-e)=(x-)2≥0, ∴f(x)≥2x-e对x>0恒成立. 又令G(x)=2x-e-g(x)=2x-e-2elnx, ∴G′(x)=2-=,∴当0<x<时, G′(x)<0,G(x)在(0,)上单调递减; 当x>时,G′(x)>0, G(x)在(,+∞)上单调递增. ∴当x=时,G(x)有极小值,也是最小值, 即G(x)min=G()=2e-e-2eln=0, ∴G(x)≥0,即g(x)≤2x-e恒成立. 故存在一次函数y=2x-e,使得当x>0时, f(x)≥2x-e,且g(x)≤2x-e恒成立. |