已知f（x）=x3+bx2+cx+d在（-∞，0]上是增函数，在[0，2]上是减函数，且f（x）=0有三个根α，2，β（α≤2≤β）．（Ⅰ）求c的值，并求出b和
题型：解答题难度：一般来源：不详
已知f（x）=x3+bx2+cx+d在（-∞，0]上是增函数，在[0，2]上是减函数，且f（x）=0有三个根α，2，β（α≤2≤β）．
（Ⅰ）求c的值，并求出b和d的取值范围；
（Ⅱ）求证f（1）≥2；
（Ⅲ）求|β-α|的取值范围，并写出当|β-α|取最小值时的f（x）的解析式． |
答案
（Ⅰ）∵f（x）在（-∞，0]上是增函数，在（0，2]上是减函数；∴x=0是f"（x）=0的根，又∵f"（x）=3x2+2bx+c，∴f"（0）=0，∴c=0．又∵f（x）=0的根为α，2，β，∴f（2）=0，∴8+4b+d=0，又∵f"（2）≤0，
∴12+4b≤0，∴b≤-3，又d=-8-4b
∴d≥4
（Ⅱ）∵f（1）=1+b+d，f（2）=0
∴d=-8-4b且b≤-3，
∴f（1）=1+b-8-4b=-7-3b≥2
（Ⅲ）∵f（x）=0有三根α，2，β；
∴f（x）=（x-α）（x-2）（x-β）
=x3-（α+β+2）•x2-2αβ
∴；（
∴|β-α|2=（α+β）2-4αβ
=（b+2）2+2d
=b2+4b+4-16-8b
=b2-4b-12
=（b-2）2-16
又∵b≤-3，∴|β-α|≥3
当且仅当b=-3时取最小值，此时d=4
∴f（x）=x3-3x2+4 |
举一反三
| 若函数y=f（x）是一次函数，且有f[f（x）]=4x-3，求函数y=f（x）的解析式． |
设函数f（x）=ax+(a，b∈Z)，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知函数y=f（x）的图象是一个中心对称图形，求其对称中心的坐标；
（3）设直线l是过曲线y=f（x）上一点P（x0，y0）的切线，求直线l与直线x=1和直线y=x所围成的三角形的面积． |
构造一个满足下面三个条件的函数实例：
①函数在（-∞，-1）上为减函数；②函数具有奇偶性；③函数有最小值；
这样的函数可以为（只写一个）：______． |
已知二次函数f（x）=ax2+bx满足条件：①f（0）=f（1）；②f（x）的最小值为-．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设数列{an}的前n项积为Tn，且Tn=()f(n)，求数列{an}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，求数列{nan}的前n项的和． |
已知常数a、b、c都是实数，函数f(x)=+x2+bx+c的导函数为f′（x）
（Ⅰ）设a=f′（2），b=f′（1），c=f′（0），求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设 f′（x）=（x-γ）（x-β），且1＜γ≤β＜2，求f′（1）•f′（2）的取值范围． |
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