已知二次函数f(x)=ax2+bx满足条件:①f(0)=f(1);②f(x)的最小值为-18.(1)求函数f(x)的解析式;(2)设数列{an}的前n项积为Tn

已知二次函数f(x)=ax2+bx满足条件:①f(0)=f(1);②f(x)的最小值为-18.(1)求函数f(x)的解析式;(2)设数列{an}的前n项积为Tn

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知二次函数f(x)=ax2+bx满足条件:①f(0)=f(1);②f(x)的最小值为-
1
8

(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设数列{an}的前n项积为Tn,且Tn=(
4
5
)f(n)
,求数列{an}的通项公式;
(3)在(2)的条件下,求数列{nan}的前n项的和.
答案
(1)由题知:





a+b=0
a>0
-
b2
4a
=-
1
8
,解得





a=
1
2
b=-
1
2

f(x)=
1
2
x2-
1
2
x
(4分)
(2)Tn=a1a2an=(
4
5
)
n2-n
2
,(5分)
Tn-1=a1a2an-1=(
4
5
)
(n-1)2-(n-1)
2
(n≥2)
(7分)
an=
Tn
Tn-1
=(
4
5
)n-1(n≥2)
,(9分)
又a1=T1=1满足上式.所以an=(
4
5
)n-1(n∈N*)
(10分)
(3)Tn=(
4
5
)0+2(
4
5
)1+3(
4
5
)2++n(
4
5
)n-1
4
5
Tn=
4
5
+2(
4
5
)2++(n-1)(
4
5
)n-1+n(
4
5
)n
(11分)
1
5
Tn=1+
4
5
+(
4
5
)2++(
4
5
)n-1-n(
4
5
)n
,(13分)
1
5
Tn=
1-(
4
5
)
n
1-
4
5
-n(
4
5
)n
Tn=25-(25+n)(
4
5
)n
,(15分)
举一反三
已知常数a、b、c都是实数,函数f(x)=
x3
3
+
a
2
x2+bx+c
的导函数为f′(x)
(Ⅰ)设a=f′(2),b=f′(1),c=f′(0),求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)设 f′(x)=(x-γ)(x-β),且1<γ≤β<2,求f′(1)•f′(2)的取值范围.
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已知A、B、C是直线l上的三点,向量


OA


OB


OC
满足


OA
=[f(x)+2f′(1)x]


OB
-lnx•


OC
,则函数y=f(x)的表达式为______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
已知当x>4时,f(x)=2x-1,且f(4-x)=f(4+x)恒成立,则当x<4时,f(x)=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
f(x)是定义域为R的奇函数,当x<0时,f(x)=x2-3x+1,则f(x)=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知A,B两地相距200km,一只船从A地逆流行驶到B地,水流速为8km/h,船在静水中的速度为vkm/h,(8<v≤20),若船每小时的燃料费与在静水中的速度的平方成正比,当v=12km/h时,每小时燃料费为720元.
(1)设船每小时的燃料费为L,求L与v的关系式;
(2)为了使全程燃料费最省,船的实际速度为多少?
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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