已知函数f（x）=x2+mx+n的图象过点（1，3），且f（-1+x）=f（-1-x）对任意实数都成立，函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于原点对称．（1）
题型：解答题难度：一般来源：江门模拟
已知函数f（x）=x2+mx+n的图象过点（1，3），且f（-1+x）=f（-1-x）对任意实数都成立，函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于原点对称．
（1）求f（x）与g（x）的解析式；
（2）若F（x）=g（x）-λf（x）在[-1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围． |
答案
（1）由题意知：1+m+n=3对称轴为x=-1故-=-1
解得m=2，n=0，
∴f（x）=x2+2x，
设函数y=f（x）图象上的任意一点Q（x0，y0）关于原点的对称点为P（x，y），
则x0=-x，y0=-y，因为点Q（x0，y0）在y=f（x）的图象上，
∴-y=x2-2x，
∴y=-x2+x，
∴g（x）=-x2+2x．
（2）F（x）=-x2+2x-λ（x2+2x）=-（1+λ）x2+2（1-λ）x
∵F（x）在（-1，1]上是增函且连续，F"（x）=-2（1+λ）x+2（1-λ）≥0
即λ≤=-1在（{-1，1}]上恒成立，
由-1在（-1，1]上为减函数，
当x=1时取最小值0，故λ≤0，所求λ的取值范围是（-∞，0]， |
举一反三
定义在R上的函数f（x）=ax3+cx，满足：①函数f（x）图象过点（3，-6）；②函数f（x）在x1，x1处取得极值且|x1-x2|=4．
求：（1）函数f（x）的表达式；
（2）若a，β∈R，求证：|f（2cosa）-f（2sinβ）|≤． |
已知函数f（x）=x2，g（x）=2elnx（x＞0）（e为自然对数的底数）．
（1）当x＞0时，求证：f′（x）+g′（x）≥4；
（2）求F（x）=f（x）-g（x）（x＞0）的单调区间及最小值；
（3）试探究是否存在一次函数y=kx+b（k，b∈R），使得f（x）≥kx+b且g（x）≤kx+b对一切x＞0恒成立，若存在，求出该一次函数的表达式；若不存在，请说明理由． |
对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．如果函数f(x)=(b，c∈N)有且只有两个不动点0，2，且f(-2)＜-．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）已知各项不为零的数列{an}满足4Sn•f()=1，求数列通项an；
（3）如果数列{an}满足an=f（an），求证：当n≥2时，恒有an＜3成立． |
已知f（x）=x3+bx2+cx+d在（-∞，0]上是增函数，在[0，2]上是减函数，且f（x）=0有三个根α，2，β（α≤2≤β）．
（Ⅰ）求c的值，并求出b和d的取值范围；
（Ⅱ）求证f（1）≥2；
（Ⅲ）求|β-α|的取值范围，并写出当|β-α|取最小值时的f（x）的解析式． |
| 若函数y=f（x）是一次函数，且有f[f（x）]=4x-3，求函数y=f（x）的解析式． |
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