已知函数f(x)=x3+2bx2+cx-2的图象在与x轴交点处的切线方程是y=5x-10.(1)求函数f(x)的解析式;(2)设函数g(x)=f(x)+13mx
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已知函数f(x)=x3+2bx2+cx-2的图象在与x轴交点处的切线方程是y=5x-10.(1)求函数f(x)的解析式;(2)设函数g(x)=f(x)+13mx
题型:解答题
难度:一般
来源:四川
已知函数f(x)=x
3
+2bx
2
+cx-2的图象在与x轴交点处的切线方程是y=5x-10.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设函数g(x)=f(x)+
1
3
mx,若g(x)的极值存在,求实数m的取值范围以及函数g(x)取得极值时对应的自变量x的值.
答案
(1)由已知,切点为(2,0),故有f(2)=0,
即4b+c+3=0.①
f′(x)=3x
2
+4bx+c,由已知,f′(2)=12+8b+c=5.
得8b+c+7=0.②
联立①、②,解得c=1,b=-1,
于是函数解析式为f(x)=x
3
-2x
2
+x-2.
(2)g(x)=x
3
-2x
2
+x-2+
1
3
mx,
g′(x)=3x
2
-4x+1+
m
3
,令g′(x)=0.
当函数有极值时,△≥0,方程3x
2
-4x+1+
m
3
=0有实根,
由△=4(1-m)≥0,得m≤1.
①当m=1时,g′(x)=0有实根x=
2
3
,在x=
2
3
左右两侧均有g′(x)>0,故函数g(x)无极值.
②当m<1时,g′(x)=0有两个实根,
x
1
=
1
3
(2-
1-m
),x
2
=
1
3
(2+
1-m
),
当x变化时,g′(x)、g(x)的变化情况如下表:
故在m∈(-∞,1)时,函数g(x)有极值;
当x=
1
3
(2-
1-m
)时g(x)有极大值;
当x=
1
3
(2+
1-m
)时g(x)有极小值.
举一反三
已知函数
g(x)=1-2x , f[g(x)]=
1-
x
2
x
2
(x≠0)
,则f(0)等于( )
A.-3
B.
-
3
2
C.
3
2
D.3
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难度:简单
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4
,则当x∈(0,+∞)时,函数f(x)的解析式为( )
A.-x-x
4
B.x-x
4
C.-x+x
4
D.x+x
4
题型:单选题
难度:简单
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A.3e
x
+4
B.3lnx+4
C.3lnx
D.3e
x
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